K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
19 tháng 6 2019

a/ BĐT sai, cho \(a=b=c=2\) là thấy

b/ \(VT=\frac{a^4}{a^2+2ab}+\frac{b^4}{b^2+2bc}+\frac{c^4}{c^2+2ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(VT\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{3\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

c/ Tiếp tục sai nữa, vế phải là \(\frac{3}{2}\) chứ ko phải \(2\), và hy vọng rằng a;b;c dương

\(VT=\frac{a^2}{abc.b+a}+\frac{b^2}{abc.c+b}+\frac{c^2}{abc.a+c}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)+a+b+c}\)

\(VT\ge\frac{9}{3abc+3}\ge\frac{9}{\frac{3\left(a+b+c\right)^3}{27}+3}=\frac{9}{\frac{3.3^3}{27}+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

NV
23 tháng 6 2019

Ta có:

\(a^3+b^3+b^3\ge3ab^2\) ; \(b^3+c^3+c^3\ge3bc^2\) ; \(c^3+a^3+a^3\ge3ca^2\)

Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge ab^2+bc^2+ca^2\)

\(\frac{a^5}{b^2}+\frac{b^5}{c^2}+\frac{c^5}{a^2}=\frac{a^6}{ab^2}+\frac{b^6}{bc^2}+\frac{c^6}{ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}=a^3+b^3+c^3\)

8 tháng 8 2017

Dảnh àk =))

8 tháng 8 2017

Cứ đăng đi - úng hộ ^^

14 tháng 12 2015

làm đến đây thôi, h đi ngủ...

14 tháng 12 2015

yêu em vô điều kiện Bất chấp vì tất cả để cứu em thoát khỏi tay bọn ác ôn tên j mà dài ngoằng khó hiểu bỏ xừ

6 tháng 6 2017

xời làm hoài Câu hỏi của LIVERPOOL - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

30 tháng 9 2016

Bài 1. Từ giả thiết suy ra 1-a = b+c và áp dụng \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) 

Ta có : \(4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=4\left(b+c\right)\left(1-c\right)\left(1-b\right)\le\left[\left(b+c\right)+\left(1-c\right)\right]^2\left(1-b\right)\)

\(=\left(b+1\right)^2\left(1-b\right)=\left(b+1\right)\left(1-b^2\right)=-b^2\left(b+1\right)+\left(b+1\right)\le b+1=a+2b+c\)

18 tháng 8 2019

By Cauchy-Schwarz, we have:

\(VT\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^2b+b^2c+c^2a}\)

We will prove: \(a^2b+b^2c+c^2a\le a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+3abc\le a^3+b^3+c^3+3abc\)

By Schur, we have: \(RHS\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(a\right)\)

So we're only need to prove: \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\ge a^2b+b^2c+c^2a+3abc\)

\(\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\ge3abc\)

It is true by AM-GM ineq', so we have Q.E.D.

P/s: Em thử giải bài này bằng tiếng Anh (để tự luyện kĩ năng tiếng anh, tí em giải lại theo tiếng việt)

18 tháng 8 2019

Ấy nhầm:V

By Schur, we have \(RHS\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)

So we're only need to prove \(ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\ge a^2b+b^2c+c^2a\)

Còn lại y chang:v

23 tháng 11 2017

chứng minh \(\sqrt{2x+1}\)là số vô tỉ

12 tháng 8 2016

1.

\(\frac{a^5}{b^3}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^5}{b^3}.ab}=2.\frac{a^3}{b}\)

Tương tự và cộng lại:

\(\frac{a^5}{b^3}+\frac{b^5}{c^3}+\frac{c^5}{a^3}\ge2\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)(1)

Lại có: \(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}-\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

Vậy từ (1) ta có đpcm.

2. 

\(\frac{a^5}{bc}+abc\ge2\sqrt{\frac{a^5}{bc}.abc}=2a^3\)

Tương tự và cộng lại 

\(A=\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)-3abc\ge a^3+b^3+c^3+3abc-3abc\)

\(\Rightarrow A\ge a^3+b^3+c^3=VP\)