Question

[Lê minh triết]

CMR a^n+4-a^n chia hết cho 30, với n là số nguyên dương

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

\(a^{n+4}-a^n=a^n\left(a^4-1\right)=a^{n-1}.a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+1\right)\)

Vì \(a;a+1;a-1\) là 3 số nguyên liên tiếp => \(a.\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮3\)

Vì \(a;a+1\)là 2 số nguyên liên tiếp => \(a\left(a+1\right)⋮2\)

Lại có ( 3; 2) = 1; 3.2  => \(a^{n-1}.a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+1\right)⋮6\)

Vì \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+1\right)=a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)

\(=\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)⋮5\)

Mà ( 6; 5) = 1 và 6.5 = 30 

=> \(a^{n-1}.a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+1\right)⋮30\)

=> đpcm