NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DA
1
25 tháng 7 2022
4x2+4y2+4xy>6y−4(1)4x2+4y2+4xy>6y-4(1)
⇔4x2+4y2+4xy−6y+4>0(2)⇔4x2+4y2+4xy-6y+4>0(2)
⇔4x2+4xy+y2+3y2−6y+3+1>0⇔4x2+4xy+y2+3y2-6y+3+1>0
⇔(2x+y)2+3(y2−2y+1)+1>0⇔(2x+y)2+3(y2-2y+1)+1>0
⇔(2x+y)2+3(y−1)2+1>0⇔(2x+y)2+3(y-1)2+1>0
+)(2x+y)2≥0+)(2x+y)2≥0
3(y−1)2≥03(y-1)2≥0
→(2x+y)2+3(y−1)2≥0→(2x+y)2+3(y-1)2≥0
→(2x+y)2+3(y−1)2+1≥1>0→(2x+y)2+3(y-1)2+1≥1>0
BĐT(2) luôn đúng
→→ BĐT(1) luôn đúng
Vậy 4x2+4y2+4xy>6y−4
25 tháng 7 2022
Ta có 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy4x2+4y2+6x+3≥4xy
\Leftrightarrow (x^2 - 4xy + 4y^2) + 3(x^2 + 2x +1) \ge 0⇔(x2−4xy+4y2)+3(x2+2x+1)≥0
\Leftrightarrow (x-2y)^2 + 3(x +1)^2 \ge 0⇔ (x−2y)2+3(x +1)2≥0 (luôn đúng với mọi xx, yy).
Vậy với mọi xx, yy ta có 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy4x2+4y2+6x+3≥4xy.
DT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 2 2020
\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4xy\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=4\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4\Rightarrow ab+a+b=3\)
\(VT=\frac{a}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+3}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(a+\sqrt{3}.\sqrt{3}\right)^2\le\left(1+3\right)\left(a^2+3\right)\Rightarrow a^2+3\ge\frac{\left(a+3\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{2a}{a+3}+\frac{2b}{b+3}=\frac{4ab+6\left(a+b\right)}{ab+3\left(a+b\right)+9}=\frac{4\left(ab+a+b\right)+2\left(a+b\right)}{ab+a+b+9+2\left(a+b\right)}=\frac{12+2\left(a+b\right)}{12+2\left(a+b\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\) hay \(x=y=1\)
HH
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 3 2020
\(3x=4y+2\Rightarrow x=\frac{4y+2}{3}\)
Thay vào pt trên:
\(\left(\frac{4y+2}{3}\right)^2+y^2+4\left(\frac{4y+2}{3}\right)+4y-1=0\)
\(\Leftrightarrow16y^2+16y+4+9y^2+48y+24+36y-9=0\)
\(\Leftrightarrow25y^2+100y+19=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-\frac{1}{5}\Rightarrow x=\frac{2}{5}\\y=-\frac{19}{5}\Rightarrow x=-\frac{22}{5}\end{matrix}\right.\)
19 tháng 6 2016
ôi trờiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
TP
0
14 tháng 5 2016
Điều kiện : \(x>-\frac{1}{3};y>-\frac{1}{3}\). Lấy hai phương trình của hệ trừ nhau :
\(3x^2+4x+2\ln\left(3x+1\right)-3y^2+4y+2\ln\left(3y+1\right)=2y-2x\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^2+6+2\ln\left(3x+1\right)=3y^2+6y+2\ln\left(3y+1\right)\left(2\right)\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=3t^2+6t+2\ln\left(3t+1\right)\) trên khoảng \(\left(-\frac{1}{3};+\infty\right)\)
Ta có : \(f'\left(t\right)=6t+6+\frac{6}{3t+1}>0\), với mọi \(t\in\left(-\frac{1}{3};+\infty\right)\)
Vậy hàm số \(f\left(t\right)\) đồng biên trên khoảng \(\left(-\frac{1}{3};+\infty\right)\). Từ đó (2) xảy ra khi và chỉ khi x = y. Thay vào hệ phương trình đã cho, ta được :
\(3x^2+4x+2\ln\left(3x+1\right)=2x\)
\(\Leftrightarrow3x^2+2x+2\ln\left(3x+1\right)=0\) (3)
Dễ thấy x = 0 thỏa mãn (3)
Xét hàm số \(g\left(x\right)=3x^2+2x+2\ln\left(3x+1\right)\)
Ta có : \(g'\left(x\right)=6x+2+\frac{5}{3x+1}>0\) với mọi \(x>-\frac{1}{3}\)
Vậy hàm số \(g\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(-\frac{1}{3};+\infty\right)\)
suy ra x = 0 là nghiệm duy nhất của (3)
Hệ phương trình ban đầu có nghiệm (x;y) = (0;0)
XÉT \(3X^2+4Y^2-4XY+4X+2\)
\(\Leftrightarrow X^2-4XY+4Y^2+2\left(X^2+2X+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(X-2Y\right)^2+2\left(X+1\right)^2\)
MÀ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(X-2Y\right)^2\ge0\\\left(X+1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\RightarrowĐPCM\)