K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 5 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)
Vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)
Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương
Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
DL
1
5 tháng 4 2022
\(VT=\dfrac{a}{c+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a}{c+b}+1+\dfrac{b}{a+c}+1+\dfrac{c}{a+b}-3=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{a+c}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)-3\)
-Áp dụng BĐT Caushy Schwarz cho 3 số dương ta có:
\(VT\ge\left(a+b+c\right).\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}-3=\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3=\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}\left(1\right)\)
\(VP=\dfrac{2.\left(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{c^2+1}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\right)}{2}=\dfrac{\dfrac{2a}{a^2+1}+1+\dfrac{2b}{b^2+1}+1+\dfrac{c}{c^2+1}-3}{2}=\dfrac{\dfrac{a^2+2a+1}{a^2+1}+\dfrac{b^2+2b+1}{b^2+1}+\dfrac{c^2+2c+1}{c^2+1}-3}{2}=\dfrac{\dfrac{\left(a+1\right)^2}{a^2+1}+\dfrac{\left(b+1\right)^2}{b^2+1}+\dfrac{\left(c+1\right)^2}{c^2+1}-3}{2}\)-Áp dụng BĐT Caushy ta có:
\(VP\le\dfrac{\dfrac{2\left(a^2+1\right)}{a^2+1}+\dfrac{2\left(b^2+1\right)}{b^2+1}+\dfrac{2\left(c^2+1\right)}{c^2+1}-3}{2}=\dfrac{2+2+2-3}{2}=\dfrac{3}{2}\left(2\right)\)
-Từ (1) và (2) ta có:
\(VT\ge\dfrac{3}{2}\ge VP\Rightarrow\dfrac{a}{c+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}+\dfrac{c}{c^2+1}\left(đpcm\right)\)
-Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 4 2022
1.
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\)
Ta có:
\(\left(ab-1\right)^2=a^2b^2-2ab+1=a^2b^2-a^2-b^2+1+a^2+b^2-2ab\)
\(=\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)+\left(a-b\right)^2\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\)
Tương tự: \(\left(bc-1\right)^2\ge\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\)
\(\left(ca-1\right)^2\ge\left(c^2-1\right)\left(a^2-1\right)\)
Do \(a;b;c\ge1\) nên 2 vế của các BĐT trên đều không âm, nhân vế với vế:
\(\left[\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\right]^2\ge\left[\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Câu 2 em kiểm tra lại đề có chính xác chưa
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 4 2022
2.
Câu 2 đề thế này cũng làm được nhưng khá xấu, mình nghĩ là không thể chứng minh bằng Cauchy-Schwaz được, phải chứng minh bằng SOS
Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=max\left\{a;b;c\right\}\)
\(\Rightarrow\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\) (1)
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{1}{a}-\dfrac{a+b}{bc+a^2}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{b+c}{ac+b^2}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{c+a}{ab+c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b\left(c-a\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)+a\left(c-b\right)}{a^3+abc}+\dfrac{c\left(a-b\right)}{b^3+abc}+\dfrac{a\left(b-c\right)}{c^3+abc}\ge0\)
\(\Leftrightarrow c\left(b-a\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{b^3+abc}\right)+a\left(c-b\right)\left(\dfrac{1}{a^3+abc}-\dfrac{1}{c^3+abc}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)\left(b^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c^3-a^3\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{c\left(b-a\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)}+\dfrac{a\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(a^2+ac+c^2\right)}{\left(a^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\ge0\)
Đúng theo (1)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
TP
0
TP
0
N
10 tháng 8 2015
B1:a2+b2+c2=ab+bc+ac tương đương 2(a2+b2+c2) - 2(ab+bc+ac) =0
suy ra 2a2 +2b2 +2c2 -2ab-2bc-2ac=0
suy ra (a2 -2ab+b2) +(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0
suy ra (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0 suy ra (a-b)2=0 tương đương a-b=0 suy ra a=b (1)
(b-c)2=0 tương đương b-c=0 suy ra b=c (2)
(a-c)2 =0 tương đương a-c=0 suy ra b=c (3)
từ (1);(2);(3)suy ra a=b=c.Mà a=b=c=9 suy ra a=b=c=3(đpcm)
21 tháng 7 2017
bai 1 : ve trai : a2 + b2 + c2 = a.a + b.b + c.c = (a.b) + (b.c) +(c.a) = ab + bc +ca = ve phai
ma a+b+c=9 suy ra : 3+3+3=9 suy ra a ;b;c deu bang 3
vi ve trai = ve phai ma a ;b ;c =3 vay dang thuc duoc chung minh
11 tháng 9 2017
a. \(a^3+a^2c-abc+b^2c+b^3\)
<=> \(\left(a^3+b^3\right)+c\left(a^2-ab+b^2\right)\)
<=> (\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+c\left(a^2-ab+b^2\right)\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
vì a+b+c =0 => đpcm
11 tháng 9 2017
b. 2(a+1)(b+1)=(a+b)(a+b+2)
<=> \(2\left(ab+a+b+1\right)=\)\(a^2+ab+2a+ab+b^2+2b\)
<=> \(2ab+2a+2b+2=a^2ab+2a+ab+b^2+2b\)
<=> \(a^2+b^2=2\)=> đpcm
AP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 11 2019
Bạn tham khảo thêm tại đây:
Câu hỏi của Cậu Bé Ngu Ngơ - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
CB
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 11 2019
Lời giải:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1$
$\Leftrightarrow (a+b+c)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c$
$\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{ab+bc}{c+a}+\frac{ac+bc}{a+b}+\frac{ab+ac}{b+c}=a+b+c$
$\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+b+c+a=a+b+c$
$\Leftrightarrow \frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0$
Ta có đpcm.