K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LV
1 tháng 5 2018
\(BĐT\Leftrightarrow\)∑\(\left(\frac{b^2}{c}+a+b\right)\)\(\le\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\le\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-c\right)^2}{c}+\frac{\left(b-a\right)^2}{a}+\frac{\left(c-b\right)^2}{b}\ge0\)
AN
3
N
1 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(c^2+a^2\ge2ac\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\);\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Có: \(a^2+b^2+c^2< 2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)(a,b,c>0)
Vậy ta có đpcm.
1 tháng 2 2019
Câu 4:
Theo BĐT tam giác ta có:
$a< b+c$
$=> a^2< ab+ac$
$b< c+a$
$=> b^2 <bc+ba$
$c<a+b$
$=> c^2 <ca+cb$
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
$a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca) (1)$
Ta có $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≥ 0$ với mọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
$<=> a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 ≥ 0$
$<=> 2(a^2+b^2+c^2) ≥ 2(ab+bc+ca)$
$<=> ab+bc+ca ≤ a^2+b^2+c^2 (2)$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$ <=> tam giác đó đều
(1),(2) => đpcm
15 tháng 9 2016
\(Bdt\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\text{∑}\frac{a}{a^2+2b^2+c^2}\right)\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\left(1\right)\)
Ta dùng Bđt Bunhiacopski
\(VT\left(1\right)\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{\text{∑}a^3+2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)}\)
Vậy ta cần chứng minh \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)^2}{\text{∑}a^3+2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)}\ge\frac{3}{4}\left(2\right)\)
Thật vậy \(\left(2\right)\Leftrightarrow\text{∑}a^3+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\ge2\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)
Bđt này luôn đúng theo Cauchy vì \(a^3+c^2a\ge2a^2c\)
-->Đpcm
15 tháng 9 2016
đề thế này \(\frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{bc^2}{b^2+2c^2+a^2}+\frac{ca^2}{c^2+2a^2+b^2}\le\frac{a+b+c}{4}\) ak
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 1 2019
Lời giải:
Do đây là BĐT hoán vị nên ta hoàn toàn có thể giả sử $b$ nằm giữa $a$ và $c$ rồi dồn về 2 biến $a,c$
Khi đó:
\((b-c)(b-a)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow b^2+ac\leq ab+bc\)\(\Rightarrow c(b^2+ac)\leq c(ab+bc)\)
\(\Rightarrow a^2b+b^2c+c^2a\leq a^2b+abc+bc^2=b(a^2+ac+c^2)\)
\(\Rightarrow (a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ac)\leq b(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ac)\)
Mà:
\(b(a^2+ac+c^2)(ab+bc+ac)=(3-a-c)(a^2+ac+c^2)[(a+c)(3-a-c)+ac]\)
\(=(3-a-c)(a^2+ac+c^2)(3a+3c-a^2-c^2-ac)\)
\(=\frac{1}{3}(9-3a-3c)(a^2+ac+c^2)(3a+3c-a^2-c^2-ac)\)
\(\leq \frac{1}{3}\left(\frac{9-3a-3c+a^2+ac+c^2+3a+3c-a^2-c^2-ac}{3}\right)^3=\frac{1}{3}.3^3=9\) (theo BĐT AM-GM ngược dấu)
Do đó: \((a^2b+b^2c+c^2a)(ab+bc+ac)\leq 9\)
(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 2 2017
Lời giải:
\(P=(a+b+c)^2-(ab+bc+ac)=36-(ab+bc+ac)\) $(1)$
Vì \(0\leq a,b,c\leq 4\Rightarrow (a-4)(b-4)(c-4)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-4(ab+bc+ac)+16(a+b+c)-64\leq 0\)
\(\Leftrightarrow 4(ab+bc+ac)\geq 32+abc\geq 32\) (do \(abc\geq 0\) )
\(\Rightarrow ab+bc+ac\geq 8\) $(2)$
Từ \((1),(2)\Rightarrow P\leq 28\) hay \(P_{\max}=28\)
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(0,2,4)\) và các hoán vị của nó
MD
30 tháng 10 2018
Ta cần chứng minh
\(a+b+c\ge ab+bc+ca\)
do \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
đặt \(a=\dfrac{2y}{x+z};b=\dfrac{2z}{y+x};c=\dfrac{2x}{z+y}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{x}{y+z}\ge2\left(\dfrac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{yz}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)\)
dấu ''='' khi \(a=b=c=1\) hoặc \(a=b=2,c=1\)
8 tháng 5 2019
Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên mỗi nhân tử của VP đều dương,áp dụng bđt Cauchy:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\)
\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{b+c-a+a+c-b}{2}=c\)
\(\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\le\frac{a+c-b+a+b-c}{2}=a\)
Nhân theo vế => ddpcm "=" khi a=b=c