Question

[Alex Arrmanto Ngọc]

chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì 2n+1 và 2n+3 nguyên tố cùng nhau.

Nhanh giúp mik ạ!

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Vì 2n+1 và 2n+3 là số lẻ nên \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮̸2\\2n+3⋮̸2\end{matrix}\right.\)(1)

Gọi d là ƯCLN(2n+1,2n+3)(2)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2n+1-2n-3⋮d\Leftrightarrow-2⋮d\)(3)

Từ (1) và (2) suy ra \(d\notin\left\{2;-2\right\}\)

Từ (3) suy ra \(d\inƯ\left(-2\right)\)

\(\Leftrightarrow d\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

mà \(d\notin\left\{2;-2\right\}\)

nên d=1

hay ƯCLN(2n+1;2n+3)=1

⇔2n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau(đpcm)

Answer 2

[Luna đáng iu không quạu :3 (@Luna🌙✨...]

Gọi d = ƯCLN(2n + 1; 2n + 3) (d ϵ N^* )

→ 2n + 1 ⋮ d, 2n + 3 ⋮ d

→ (2n + 1) - (2n + 3)  ⋮ d

→ 2  ⋮ d

→ d ϵ Ư(2) = {1,2}

Mà, 2n + 3 là số lẻ 

→ d = 1

Vậy, 2n + 1 và 2n + 3 nguyên tố với nhau với mọi số tự nhiên n