Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt P = ...
* Chứng minh P > 1/2 :
\(P\ge\frac{\left(1+1+1+...+1\right)^2}{n+1+n+2+n+3+...+n+n}\)
Từ \(n+1\) đến \(n+n\) có n số => tổng \(\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+\left(n+3\right)+...+\left(n+n\right)\) là:
\(\frac{n\left(n+n+n+1\right)}{2}=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(P\ge\frac{n^2}{\frac{n\left(3n+1\right)}{2}}=\frac{2n}{3n+1}\)
Mà \(n>1\)\(\Leftrightarrow\)\(4n>3n+1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n}{3n+1}>\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(P>\frac{1}{2}\)
* Chứng minh P < 3/4 :
Có: \(\frac{1}{n+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1\right)\)
\(\frac{1}{n+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\right)\)
\(\frac{1}{n+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)\)
...
\(\frac{1}{n+n}=\frac{1}{2n}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(n.\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}< \frac{3}{4}\) ( do n>1 )
\(\Rightarrow\)\(P< \frac{3}{4}\)
Cần chứng minh :\(\dfrac{21n+4}{14n+3}\) tối giản
Giả sử : \(\left\{{}\begin{matrix}21n+4⋮d\\14n+3⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}42n+8⋮d\\42+9⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy phân số trên đã tối giản .
Để A=\(\frac{5n+2}{7n+4}\) là phân số tối giản thì 7n+4 ko chia hết cho 5n+2
<=>5*(7n+4) cũng ko chia hết cho 5n+2
<=>35n+20 ko chia hết cho 5n+2
<=>(35n+14)+6 ko chia hết cho 5n+2
<=>7*(5n+2)+6 ko chia hết cho 5n+2
Vì 7*(5n+2) chia hết cho 5n+2 Nên 6 ko chia hết cho 5n+2
=>5n+2 không có dạng 6k(kEZ)
=>5n không có dạng 6k-2
n không có dạng \(\frac{6k-2}{5}\)(kEZ)
Gọi d là ƯCLN của 21n+4 và 18n+3 (d €N*)
Suy ra 21n+4 chia hết cho d và 18n+3 chia hết cho d
Nên 126n+24 cũng chia hết cho d và 126n+21 cũng chia hết cho d
Suy ra (126n+24)-(126n+21) chia hết cho d
Tương đương 3 chia hết cho d
Suy ra d là 1 hoặc 3
Nếu d là 3 suy ra 21n +4 chia hết cho 3
Mà 21n chia hết cho3
Nên 4 chia hết cho 3 là vô lý
Vậy d là1 suy ra phân sô trên tối giản với mọi neN
thử xem nha
\(\frac{a^2+a-1}{a^2+a+1}=1-\frac{2}{a^2+a+1}\)
với a là số nguyên để biểu thức trên tối giản thì
\(\frac{2}{a^2+a+1}\) tối giản mà \(a^2+a+1=\left(a+1\right)a+1\) luôn luôn là số lẻ
suy ra đpcm
Gọi \(d=ƯCLN\left(8n+5;6n+4\right)\left(d\in Z\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}8n+5⋮d\\6n+4⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}24n+15⋮d\\24n+16⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\)
Vì \(d\in Z;1⋮d\Leftrightarrow d=1\)
\(\LeftrightarrowƯCLN\left(8n+5;6n+4\right)=1\)
Vậy phân số \(\dfrac{8n+5}{6n+4}\) tối giản với mọi n
\(\rightarrowđpcm\)
Gọi d là \(UCLN\left(25m+7;15m+4\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}25m+7⋮d\\15m+4⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(25m+7\right)⋮d\\5\left(15m+4\right)⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}75m+21⋮d\\75m+20⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[\left(75m+21\right)-\left(75m+20\right)\right]⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
Vậy \(\dfrac{25m+7}{15m+4}\) tối giản \(\forall m\in Z\)
goij d là UCLN của 5n+1 và 6n+1
ta có 5n+1 chia hết cho d=> 6(5n+1) chia hết cho d=> 30n+6 chia hết cho d(1)
ta có 6n+1 chia hết cho d=> 5(6n+1) chia hết cho d=> 30n+5 chia hết cho d(2)
lấy (1)-(2)
ta có (30n+6)-(30n+5)chia hết cho d
vậy 1 chia hết cho d
nên d=(1;-1)
vậy phân số đã cho tối giản