Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ bạn tự xét nhé
\(M=\left(1+\frac{a}{a^2+1}\right):\left(\frac{1}{a-1}-\frac{2a}{a^3-a^2+a-1}\right)\)
\(M=\left(\frac{a^2+1}{a^2+1}+\frac{a}{a^2+1}\right):\left(\frac{a^2+1}{\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)}-\frac{2a}{a^2\left(a-1\right)+\left(a-1\right)}\right)\)
\(M=\left(\frac{a^2+a+1}{a^2+1}\right):\left(\frac{a^2+1}{\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)}-\frac{2a}{\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)}\right)\)
\(M=\left(\frac{a^2+a+1}{a^2+1}\right):\left(\frac{a^2-2a+1}{\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)}\right)\)
\(M=\left(\frac{a^2+a+1}{a^2+1}\right):\left(\frac{\left(a-1\right)^2}{\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)}\right)\)
\(M=\frac{\left(a^2+a+1\right)\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)}{\left(a^2+1\right)\left(a-1\right)^2}\)
\(M=\frac{a^2+a+1}{a-1}\)
Để M thuộc Z thì \(a^2+a+1⋮a-1\)
\(\Leftrightarrow a^2-a+2a-2+3⋮a-1\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right)+2\left(a-1\right)+3⋮a-1\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a+2\right)+3⋮a-1\)
Mà \(\left(a-1\right)\left(a+2\right)⋮a-1\)
\(\Rightarrow3⋮a-1\)
\(\Rightarrow a-1\inƯ\left(3\right)=\left\{1;3;-1;-3\right\}\)
\(\Rightarrow a\in\left\{2;4;0;-2\right\}\)
Để M = 7 thì :
\(\frac{a^2+a+1}{a-1}=7\)
\(\Leftrightarrow a^2+a+1=7\left(a-1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+a+1=7a-7\)
\(\Leftrightarrow a^2-6a+8=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2a-4a+8=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-2\right)-4\left(a-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a-4\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-2=0\\a-4=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=2\\a=4\end{cases}}}\)
Để M > 0 thì :
\(\frac{a^2+a+1}{a-1}>0\)
Vì \(a^2+a+1>0\forall a\), do đó để M > 0 thì : \(a-1>0\Leftrightarrow a>1\)
Chứng minh \(a^2+a+1>0\):
Đặt \(B=a^2+a+1\)
\(B=a^2+2\cdot a\cdot\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
\(B=\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
Vì \(\left(a+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\)
\(\Rightarrow B\ge0+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}>0\)
\(\Rightarrow B>0\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow a=\frac{-1}{2}\)
a) A = n/3 + n2/2 + n3/6
A = 2n+3n2+n3/6
A = 2n+2n2+n2+n3/6
A = (n+1)(2n+n2)/6
A = n(n+1)(n+2)/6
Vì n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3
Mà (2;3)=1 => n(n+1)(n+2) chia hết cho 6
Hay A thuộc Z (đpcm)
b) B = n4/24 + n3/4 + 11n2/24 + n/4
B = n4+6n3+11n2+6n/24
B = n(n3+6n2+11n+6)/24
B = n(n3+n2+5n2+5n+6n+6)/24
B = n(n+1)(n2+5n+6)/24
B = n(n+1)(n2+2n+3n+6)/24
B = n(n+1)(n+2)(n+3)/24
Vì n(n+1)(n+2)(n+3) là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 8 và 3
Mà (8;3)=1 => n(n+1)(n+2)(n+3) chia hết cho 24
Hay B nguyên (đpcm)
a, Chứng minh \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y\right)^3-3xy.\left(x+y\right)+z^3\)
Biến đổi vế phải thì ta phải suy ra điều phải chứng minh
b, Ta có: \(a+b+c=0\)thì
\(a^3+b^3+c^3==\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3=-c^3-3ab\left(-c\right)+c^3=3abc\)
( Vì \(a+b+c=0\)nên \(a+b=-c\))
Theo giả thuyết \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)
Khi đó \(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}\)
\(=\frac{xyz}{x^3}+\frac{xyz}{y^3}+\frac{xyz}{z^3}\)
\(=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)\)
\(=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)
\(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}=\frac{2a}{6}+\frac{3a^2}{6}+\frac{a^3}{6}=\frac{2a+3a^2+a^3}{6}\)
\(=\frac{a^3+3a^2+2a}{6}=\frac{a^3+2a^2+a^2+2a}{6}\)
\(=\frac{a^2.\left(a+2\right)+a.\left(a+2\right)}{6}=\frac{\left(a+2\right).\left(a^2+a\right)}{6}=\frac{\left(a+2\right).a.\left(a+1\right)}{6}\)
Vì a.(a+1).(a+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và ;mà (2;3)=1
=>a.(a+1).(a+2) chia hết cho 6
\(=>\frac{a.\left(a+1\right).\left(a+2\right)}{6}\in Z\left(a\in Z\right)\) (đpcm)