Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM
\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)
Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM
Bài 2:
Quy đồng BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự rồi cộng theo vế
Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
2, a, \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\left(a>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)( là đt đúng vs mọi a)
vậy...................
Câu 1:
\(M=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-20-10\sqrt{3}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+25-5\sqrt{3}}}\)
\(=\sqrt{4+5}=3\)
\(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{5}+1}=\sqrt{6-\sqrt{5}}\)
b) Giả sử:
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4-a^4-a^3b-ab^3-b^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)-\left(ab^3-b^4\right)+\left(a^4-b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) BĐT đúng
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Mà \(a+b\ge2\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge2\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=1\)
Theo đề bài ta có
\(a\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)=> \(a^2b\ge a^2+ab-a\)
\(b\left(1-c\right)\left(1-b\right)\ge0\)=> \(b^2c\ge b^2+bc-b\)
Tương tự \(c^2a\ge c^2+ac-c\)
Khi đó
\(VT\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-\left(a+b+c\right)=2^2-2=2\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=1,c=0\)và các hoán vị
\(a^3+b^3\le a^4+b^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\) ( vì \(a+b\ge2\) )
\(\Leftrightarrow a^4+ab^3+a^3b+b^4\le2a^4+2b^4\)
\(\Leftrightarrow ab^3+a^3b\le a^4+b^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-ab^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (1)
Ta thấy \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2\right)+\frac{3}{4}b^2+\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall ab\)
Nên (1) luôn đúng với mọi a;b
Vậy \(a^3+b^3\le a^4+b^4\)
1/ \(a+1=\sqrt[4]{\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}-\sqrt[4]{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}-\sqrt{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}{\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}=\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
2/ \(a+b=5\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=125\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=125\)
\(\Rightarrow a^3+b^3=125-3ab\left(a+b\right)=125-3.1.5=110\)
3/ \(mn\left(mn+1\right)^2-\left(m+n\right)^2.mn\)
\(=mn\left(\left(mn+1\right)^2-\left(m+n\right)^2\right)\)
\(=mn\left(mn+1-m-n\right)\left(mn+1+m+n\right)\)
\(=mn\left(m-1\right)\left(n-1\right)\left(m+1\right)\left(n+1\right)\)
\(=\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Do \(\left(m-1\right)m\left(m+1\right)\) và \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) đều là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chúng đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) tích của chúng chia hết cho 36
4/
Do \(0\le x\le1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x-1\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x\left(x-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2-x\le0\Leftrightarrow x^2\le x\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\)
5/ Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5a+4}=x\\\sqrt{5b+4}=y\\\sqrt{5c+4}=z\end{matrix}\right.\)
Do \(a+b+c=1\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow2\le x;y;z\le3\) và \(x^2+y^2+z^2=5\left(a+b+c\right)+12=17\)
Khi đó ta có:
Do \(2\le x\le3\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x+6\le0\Leftrightarrow x\ge\frac{x^2+6}{5}\)
Tương tự: \(y\ge\frac{y^2+6}{5}\) ; \(z\ge\frac{z^2+6}{5}\)
Cộng vế với vế:
\(A=x+y+z\ge\frac{x^2+y^2+z^2+18}{5}=\frac{17+18}{5}=7\)
\(\Rightarrow A_{min}=7\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;2;3\right)\) và các hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
\(a^2+b^2=4+ab\le4+\frac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\le4\Rightarrow a^2+b^2\le8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
\(a^2+b^2=4+\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2-\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge4-\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)\ge4\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{8}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=-b=\frac{2\sqrt{3}}{3}\) và hoán vị
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4+b^4+4a^2b^2}{a^2b^2}\ge\frac{3a^3b+3ab^3}{a^2b^2}\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+4a^2b^2-3a^3b-3ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a^2+b^2-2ab\right)+b^2\left(a^2+b^2-2ab\right)+2a^2b^2-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a-b\right)^2-ab\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2-ab\right)\ge0\)(đúng)
Các phép biến đổi là tương đương suy ra đpcm
"=" khi a=b
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+1\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}=2.\frac{a}{b}\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(a=b\)
\(\frac{b^2}{a^2}+1\ge2.\sqrt{\frac{b^2}{a^2}}=2.\frac{b}{a}\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(a=b\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+2=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).\left(-1\right)+2\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(a=b\)
Ta có : \(a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3-b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3\right)-\left(a-1\right)+\left(b^4-b^3\right)-\left(b-1\right)+a+b-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-1\right)-\left(a-1\right)+b^3\left(b-1\right)-\left(b-1\right)+a+b-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)+\left(b-1\right)^2\left(b^2+b+1\right)+a+b-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left[\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]+\left(b-1\right)^2\left[\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]+a+b-2\ge0\)
(luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh