Question

[Nguyễn Thị Hạnh]

Bài 4. (2 điểm)

Cho đường tròn $(O;R)$, đường kính $AB$. Qua $A$ và $B$ vẽ lần lượt hai tiếp tuyến $d$ và $d'$ với đường tròn $(O)$. Một đường thẳng $\alpha$ qua $O$ cắt đường thẳng $d$ ở $M$ và cắt đường thẳng $d'$ ở $P$. Từ $O$ vẽ một tia vuông góc với $MP$ và cắt đường thẳng $d'$ ở $N$. Đường thẳng $\alpha$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $E, F$ ($E$ nằm giữa $O$ và $M$).

a) Chứng minh $OM = OP$.

b) Hạ $OI \bot MN$. Chứng minh $MN$ là tiếp tuyến của $(O)$ và $MA.BN = R^2$.

c) Cho $OM = 2R$. Tinh diện tích hình quạt giới hạn bởi $OI,OF$ và cung nhỏ $IF$.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: AM\(\perp\)AB

BP\(\perp\)AB

Do đó: AM//BP

Xet ΔOAM vuông tại A và ΔOBP vuông tại B có

OA=OB

\(\widehat{AOM}=\widehat{BOP}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAM=ΔOBP

=>OM=OP

b: Xét ΔNOM vuông tại O và ΔNOP vuông tại O có

NO chung

OM=OP

Do đó: ΔNOM=ΔNOP

=>\(\widehat{NMO}=\widehat{NPO}\)

=>\(\widehat{NMO}=\widehat{AMO}\)

=>MO là phân giác của góc AMN

Xét ΔMAO vuông tại A và ΔMHO vuông tại H có

MO chung

\(\widehat{AMO}=\widehat{HMO}\)

Do đó: ΔMAO=ΔMHO

=>OA=OH

=>OH=R

Xét (O) có

OH là bán kính

MN\(\perp\)OH tại H

Do đó: MN là tiếp tuyến của (O)

Xét (O) có

NH,NB là các tiếp tuyến

Do đó: NH=NB

ΔMAO=ΔMHO

=>MA=MH

Xét ΔOMN vuông tại O có OH là đường cao

nên \(HM\cdot HN=OH^2=R^2\)

=>\(MA\cdot BN=R^2\)