Question

[nguyễn đình hải]

cho tam giác abc có góc a= 90 độ, trên tia đối của tia ab lấy điểm d sao cho ad=ab, trên tie đối của tia ac lấy điểm e sao cho ae=ac. lấy điểm m thuộc bc và điểm n thuộc ed sao cho bm=dn.chứng minh rằng nếu m là trung điểm của đoạn thẳng bc thì mn=bc

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Xét tư giác BCDE có

AD=AB (gt); AE=AC (gt) => BCDE là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> DE//BC (cạnh đối hbh) => DN//BM

Mà BM=DN (gt) 

=> BMDN là hbh (Tứ giác có 1 cawoj cạnh đối // và bằng nhau là hbh)

Nối MN cắt BD tại A' => A'D=A'B (Trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà AD=AB (gt); \(A\in BD;A'\in BD\)

\(\Rightarrow A'\equiv A\) hay A; M; N thẳng hàng

Ta có BMDN là hbh (cmt) => AM=AN (Trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét tg vuông ABC nếu

\(BM=CN\Rightarrow AM=\dfrac{BC}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

Mà AM=AN (cmt)

\(\Rightarrow MN=AM+AN=\dfrac{BC}{2}+\dfrac{BC}{2}=BC\)