Question

[Elise Lê]

Chứng minh số sau là số chính phương:

A= 111....11  -  222...2 (2n chữ số 1 và n chữ số 2)

B= 111.....1  +  444......44  +  1 (2n chữ số 1 và n chữ số 4)

Answer 1

[hgf]

A = 111...1000...0 + 111...1 - 222...2

     (n cs 1)(n cs 0)   (n cs 1)  (n cs 2)

\(A=111...1\cdot10^n+111...1-222...2\)

        (n cs 1)                       ( n cs 1 )      ( n cs 2 )

Đặt   K = 111...1  ( n cs 1 )   => 9K + 1 = 10^n

=> A = K( 9k + 1 ) + K - 2K

        = 9K^2 + K + K - 2K

        = 9K^2   = (3K)^2     

=> A là một số chính phương

B = 111...1000...0 + 111...1 +  444...4 + 1

    (n cs 1)(n cs 0)   (n cs 1)    (n cs 4)

\(\Rightarrow B=111...1\cdot10^n+111...1+444...4+1\)

                ( n cs 1 )                 ( n cs 1 )         ( n cs 4 )

Đặt   K = 111...1   ( n cs 1 )         => 9K + 1 = 10^n

=> B = K( 9K + 1 ) + K + 4K + 1

         = 9K^2 + 6K + 1

         = ( 3K + 1 ) ^2

=> B là một số chính phương