K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DH
1
15 tháng 7 2023
Có:
\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}-y\sqrt{x}\ge0\)
\(x\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)-y\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)
\(\left(x-y\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)
\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\ge0\)
\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\ge0\) (luôn đúng)
Dấu = xảy ra khi x=y
ND
1
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
13 tháng 7 2023
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\) Thay x+y+z=0 vào
\(\Rightarrow0=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+xz\right)\) (1)
Ta có
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (2)
Bình phương 2 vế của (1)
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(xy+yz+xz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xy^2z+2xyz^2+2x^2yz\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left[x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xyz\left(x+y+z\right)\right]\)
Do x+y+z=0 nên
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\) (3)
Thay (3) vào (2)
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\) (đpcm)
NM
2
16 tháng 5 2023
Vẫn đề đó hả em
Câu này dùng BĐT Schur là ra luôn cx đc, nhưng mà thế thì hơi mất hứng, anh thử đề xuất phương án này ha
VT=\(cyc\sum x^5.\left(x-y+z\right)\) Gấp đôi vế trái lên và phá ngoặc ra nhóm về kiểu này
2.VT=(x^6-2x^5y+2xy^5+y^6)+.......tương tự như thế ha
Giờ chỉ cần mỗi cái ngoặc này >=0 là cả lũ >=0 do tương tự
Mà \(x^6-2x^5y+2xy^5+y^6=\left(x^2+y^2\right).\left(x^2-xy-y^2\right)^2\) (Cái này em nhóm 2 cái cuối, 2 cái giữa xong triển khai ra là đc)
Dễ thấy x^2+y^2>=0, cái ngoặc kia là bình phương cũng >=0
Do đó cái TH kia >=0. Các th còn lại thì cx tương tự
Cộng vế với vế suy ra 2VT>=0, Hay VT>=0 (đpcm)
16 tháng 5 2023
Anh gửi riêng phần phân tích này
\(x^6-2x^5y+2xy^5+y^6=\left(x^2+y^2\right)\left(x^4-x^2y^2+y^4\right)-2xy\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)=\left(x^2+y^2\right).\left(x^4-x^2y^2+y^4-2xy\left(x^2-y^2\right)\right)=\left(x^2+y^2\right)\left(\left(x^4-2x^2y^2+y^4\right)-2xy\left(x^2-y^2\right)+x^2y^2\right)\)Viết tiếp cái ngoặc to thành bình phương là ra cái anh vt chỗ trên đầu nhé
Thử xem có đc ko
TN
0
TN
29 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Cauhy-Schwarz ta có:
\(A=x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2}{3}=\frac{\frac{1}{9}}{3}=\frac{1}{27}\)
Xảy ra khi x=y=z=1/3
3 tháng 8 2016
Ta có:
\(\frac{1}{x+y}\) \(\le\)\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\))
=> \(\frac{1}{x+y}\)\(\le\)\(\frac{x+y}{4xy}\)
=> 4xy \(\le\)(x+y)2
=> 2xy \(\le\)x2+y2
x^2 +y ^2-2xy luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nhé! Vội quá, không giải nữa nha!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 9 2020
Ta có:
\(VT=\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}+1-2\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}+2\sqrt{\frac{y}{x}}-2\ge\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}+2\sqrt{\sqrt{\frac{x}{y}}.\sqrt{\frac{y}{x}}}-2=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
bđt <=> x4 + y4 - x3y - xy3 ≥ 0
<=> x(x3 - y3) - y(x3- y3) ≥ 0
<=> x(x - y)(x2 + xy + y2) - y(x - y)(x2 + xy + y2) ≥ 0
<=> (x - y)2(x2 + xy + y2) ≥ 0 (1)
Ta có: (x - y)2 ≥ 0 ∀x, y
x2 + xy + y2 = (x + \(\dfrac{1}{2}\)y)2 + \(\dfrac{3}{4}\)y2 ≥ 0 ∀ x, y
=> (1) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
theo bđt cauchy schwars ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x^4+y^4\ge2x^2y^2\\x^4+x^2y^2\ge2x^3y\\y^4+x^2y^2\ge2xy^3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^4+y^4\right)+2x^2y^2\ge2\left(xy^3+x^3y\right)+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4\ge xy^3+x^3y\)
vậy đpcm