Question

[Dương Hoàng Yến]

chứng minh rằng với mọi số nguyên thì : A=n³(n²-7)^2-36n chia hết cho 105

Answer 1

[Vy Thảo]

Bạn đã giải được bài này chưa?

Answer 2

[Phạm Hồ Thanh Quang]

B = n³(n²-7)^2-36n
   = n³(n⁴-14n²+49)-36n
   = n⁷ - 14n⁵ + 49n³ - 36n
   = n(n⁶ - 14n⁴ +49n² -36)
   = n(n⁶ - n⁵ + n⁵ - n⁴ - 13n⁴ + 13n³ - 13n³ + 13n² + 36n² - 36n + 36n - 36)
   = n[n⁵(n-1)+n⁴(n-1)-13n³(n-1)-13n²(n-1)+36n(n-1)+36(n-1)]
   = n(n-1)(n⁵+n⁴-13n³-13n²+36n+36)
   = n(n-1)[n⁴(n+1)-13n²(n+1)+36(n+1)]
   = n(n-1)(n+1)(n⁴-13n²+36)
   = n(n-1)(n+1)(n⁴-9n²-4n²+36)
   = n(n-1)(n+1)[n²(n²-9)-4(n²-9)]
   = n(n-1)(n+1)(n²-9)(n²-4)
   = n(n-1)(n+1)(n-3)(n+3)(n-2)(n+2)
   = (n-3)(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)
Có \(B⋮3\); \(B⋮5\);\(B⋮7\)(vì có 7 số tự nhiên liên tiếp)
Mà 3; 5; 7 đôi một nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow B⋮3.5.7\Rightarrow B⋮105\)(đpcm)