Question

[Cuber Việt]

Chứng minh rằng với mọi a , b , c và d là các số nguyên thì T = (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d0(c-d) chia hết cho 12

Answer 1

[Lê Gia Bảo]

Trong 4 số nguyên a, b, c, d chắc chắn có 2 số chia hết cho 3 có cùng số dư.\(\Rightarrow\)Hiệu của chúng chai hết cho 3.

Nên T chia hết cho 3 (1)

Ta lại có 4 số nguyên a, b, c hoặc có 2 số chẵn, hai số lẻ, chẳng hạn a, b là hai số chẵn còn c, d là hai số lẻ.

Thì a - b và c - d chia hết cho 2 nên (a - b)(c - d) chia hết cho 4.

\(\Rightarrow\) T chia hết cho 4.

Hoặc nếu không phải như trên thì trong 4 số tồng tại 2 số chia hết cho 4 có cùng số dư nên hiệu của chúng chia hết cho 4.

\(\Rightarrow\) T chia hết cho 4

Từ (1) và hai ta có T chia hết cho 3 và T chia hết cho 4 mà (3;4) = 1 nên T chia hết cho 12 (đpcm)

Chúc bạn học tốt!!