Câu hỏi của Nguyễn Thị Minh Nguyệt

Question

Chứng minh rằng tồn tại 1 số có dạng 777777777......7777 (chỉ gồm các chữ số 7) mà chia hết cho 2013

Help me!!!!!!!!!!!!!!!!

Nguyễn Thanh Hằng · Accepted Answer

Xét dãy gồm $2014$ số hạng :

7; 77; 777 ;........; 777.......777

Lấy $2014$ số hạng của dãy chia cho $2013$ ta được $2014$ số dư nhận các giá trị là :

0; 2; 3; 4; .................. ; 2012 ( 2013 giá trị)

$\Rightarrow$ Có ít nhất 2 số dư bằng nhau

$\Rightarrow$ Ở dãy trên có 2 số đồng dư với nhau khi chia cho 2013

$\Rightarrow$ Hiệu 2 số đó có dạng :

$77........777000.....000$ $⋮$ $2013$

$777.......777.10^k$ $⋮$ $2013$

$\Rightarrow77...777$ $⋮$ $2013$ ( do $10^k$ và $2013$ nguyên tố cùng nhau )

Vậy tồn tại số có dạng $77........7777$ chia hết cho $2013$

$\Rightarrowđpcm$

Chúc bn học tốt!!Câu trả lời: Xét dãy gồm $2014$ số hạng :