Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\text{Gọi số chính phương là a}^2\text{ }\)
\(\text{Ta có: }a^2\left(a^2-1\right)=a.a.\left(a+1\right).\left(a-1\right)\)
\(\text{Vì }\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\text{ là tích 3 số tự nhiên liên tiếp}\Rightarrow a^2\left(a^2-1\right)⋮3\)
\(\text{Vì }\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-1\right)\text{ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp}\\a\left(a+1\right)\text{ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-1\right)⋮2\\a\left(a+1\right)⋮2\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2\left(a^2-1\right)⋮4\)
\(\text{Mà }\left(3;4\right)=1\)
\(\Rightarrow a^2\left(a^2-1\right)⋮12\)
a là số tự nhiên > 0. giả sử có m,n > 0 ∈ Z để:
2a + 1 = n^2 (1)
3a +1 = m^2 (2)
từ (1) => n lẻ, đặt: n = 2k+1, ta được:
2a + 1 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1
=> a = 2k(k+1)
vậy a chẵn .
a chẳn => (3a +1) là số lẻ và từ (2) => m lẻ, đặt m = 2p + 1
(1) + (2) được:
5a + 2 = 4k(k+1) + 1 + 4p(p+1) + 1
=> 5a = 4k(k+1) + 4p(p+1)
mà 4k(k+1) và 4p(p+1) đều chia hết cho 8 => 5a chia hết cho 8 => a chia hết cho 8
ta cần chứng minh a chia hết cho 5:
chú ý: số chính phương chỉ có các chữ số tận cùng là; 0,1,4,5,6,9
xét các trường hợp:
a = 5q + 1=> n^2 = 2a+1 = 10q + 3 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý)
a =5q +2 => m^2 = 3a+1= 15q + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý)
(vì a chẵn => q chẵn 15q tận cùng là 0 => 15q + 7 tận cùng là 7)
a = 5q +3 => n^2 = 2a +1 = 10a + 7 có chữ số tận cùng là 7 (vô lý)
a = 5q + 4 => m^2 = 3a + 1 = 15q + 13 có chữ số tận cùng là 3 (vô lý)
=> a chia hết cho 5
5,8 nguyên tố cùng nhau => a chia hết cho 5.8 = 40
hay : a là bội số của 40
\(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)+1\)
\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)
\(=\left(a^2+3a+1-1\right)\left(a^2+3a+1+1\right)+1\)
\(=\left(a^2+3a+1\right)^2-1+1=\left(a^2+3a+1\right)^2\)
Với \(n=1\Leftrightarrow b^n-a^n=b-a⋮b-a\)
G/s \(n=k\Leftrightarrow b^k-a^k⋮b-a\)
Với \(n=k+1\), cần cm \(b^{k+1}-a^{k+1}⋮b-a\)
Ta có \(b^{k+1}-a^{k+1}=b^k\cdot b-a^k\cdot a=b^k\cdot b-a^k\cdot b+a^k\cdot b-a^k\cdot a\)
\(=b\left(b^k-a^k\right)-a^k\left(b-a\right)\)
Vì \(b^k-a^k⋮b-a;b-a⋮b-a\) nên \(b^{k+1}-a^{k+1}⋮b-a\)
Suy ra đpcm
gọi số chính phương bất kỳ là \(a^2\)khi đó số tự nhiên liền trước nó là
\(a^2-1\)
xét tích 2 số ta được \(a^2\left(a^2-1\right)=a^2\left(a-1\right)\left(a+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)a\)
lại có
\(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)là tích 3 STN liên tiếp nên chia hết cho 3
a(a-1) là tích 2 STN liên tiếp nên chia hết cho 2
a(a+1) là tích 2 STN liên tiếp nên chia hết cho 2
vậy a(a-1)(a+1)a chia hết cho UCLN(2,2,3)=12