Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương
Biến đổi phương trình ta có :
\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :
TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)
TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)
TH1 :
\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)
\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )
Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương
b) Ta có :
\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)
\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)
- Xét 2 trường hợp :
TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)
TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)
+) TH1 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
+) TH2 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )
bt trên sẽ là (a4n)2 + 3 . a4n - 4 = (a4n)2 + 4. a4n - a4n -4 = ( a4n + 4)(a4n -1)
mặt khác vì a là số tự nhiên , a không chia hết cho 5
=> a4n = (a2n)2 là số chính phương chia 5 dư 1 hoặc 4 (vì scp chia 5 dư 0,1,4 - bạn có thể chứng minh = cách xét 1 số x nào đó có số dư cho 5 là 0,1,2,3,4 , đăt dạng của nó (VD như 5k+1 chẳng hạn ) rồi bp lên đc scp của nó để tìm số dư của scp đó cho 5 theo cách tổng quát nhất)
nếu a4n chia 5 dư 1 => a4n -1 chia hết cho 5 => bt chia hết cho 5
nếu a4n chia 5 dư 4 => a4n -4 chia hết cho 5 => bt chia hết cho 5
Vậy bt trên chia hết cho 5
Gọi số chính phương đó là a2, ta có:
a2(a2-1)=a2(a2-12)=a(a+1)a(a-1)
Vì a, a+1, a-1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên (a+1)a(a-1) chia hết cho 3 =>a(a+1)a(a-1) chia hết cho 3 (1)
Vì a(a+1) chia hết cho 2, a(a-1) chia hết cho 2 nên a(a+1)a(a-1) chia hết cho 4 (2)
Từ (1) và (2) ta có a(a+1)a(a-1)= a2(a2-1) chia hết cho12 => ĐPCM
Gọi số chính phương đó là a2, ta có:
a2(a2-1)
=a2(a2-12)
=a(a+1)a(a-1)
Vì a, a+1, a-1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên (a+1)a(a-1) chia hết cho 3
=>a(a+1)a(a-1) chia hết cho 3 (1)
Vì a(a+1) chia hết cho 2, a(a-1) chia hết cho 2 nên a(a+1)a(a-1) chia hết cho 4 (2)
Từ (1) và (2) ta có
a(a+1)a(a-1)= a2(a2-1) chia hết cho12
=> ĐPCM
P/s tham khảo nha