Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)^n-\left(2-\sqrt{3}\right)^n}{2\sqrt{3}}=\frac{A+B\sqrt{3}-A+B\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=B\)( A,B thuộc Z )
Bài này tương tự bài 20.7 trong quyển Tài liệu chuyên toán THCS 9 tập 1 của ông Tôn thân ý
Dùng phương pháp quy nạp nhé
\(\sqrt{n^2+n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2}\)
\(=\sqrt{n^2+\left(n^2+n\right)^2+\left(n^2+2n+1\right)}\)
\(=\sqrt{2\left(n^2+n\right)+\left(n^2+n\right)^2+1}\)
\(=\sqrt{\left(n^2+n+1\right)^2}=\left|n^2+n+1\right|=n^2+n+1\)
Suy ra đpcm
day nhe banTa có:\(\frac{1}{\left(k +1\right)\sqrt{k}}=\frac{\left(k+1\right)-k}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}\)
\(< \frac{2\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\sqrt{k+1}\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}}-\frac{2}{\sqrt{k+1}}\)
Cho k=1,2,,,,n rồi cộng vế với vế ta có;
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< \left(\frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)+...\)
\(+\left(\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Nếu m=n ta có đpcm
Xét m \(\ne\)n ta đặt \(\hept{\begin{cases}m+n=2x\\m-n=2y\end{cases}\left(x;y\inℤ;x>0;y\ne0\right)}\)khi đó ta có: \(\hept{\begin{cases}m=x+y\\n=x-y\end{cases}\left(m,n>0\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y>0\\x-y>0\end{cases}\Rightarrow}x=\left|y\right|}\)
Do đó \(n^2-1⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow-\left(m^2-n^2-1\right)+m^2⋮\left|m^2-n^2+1\right|\Rightarrow m^2=k\left(m^2-n^2+1\right)\left(1\right)\left(k\inℤ\right)\)
Thay m=x+y; n=x-y ta có: (x+y)2=k(4xy+1)
<=> x2-2(2x-1)xy+y2-k=0 (*)
Phương trình (*) có 1 nghiệm là x thuộc Z nên có 1 nghiệm nữa là x1. Theo hệ thức Vi-et ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+x_1=2\left(2k-1\right)\\xx_1=y^2-k\end{cases}\Rightarrow x;x_1\inℤ}\)
Nếu x1>0 => (x;y) là cặp nghiệm thỏa mãn (*)
=> x1>|y| => y2-k=xx1 > |y|2=y2 => k<0 => x1+x2=2(2k-1)<0 (mâu thuẫn)
Nếu x1<0 thì xx1=y2-k<0 => k>y2 => k>0 => 4xy+1>0 => y>0 ta có:
k=x12-2(2k-1)x1y+y2=x12+2(2k-1)|x1|y+y2> 2(2k-1) |x1|y >= 2(2k-1)>k (mâu thuẫn)
vậy x1=0 khi đó k=y2 và \(m^2-n^2+1=\left(\frac{m}{y}\right)^2\)nên |m2-n2+1| là số chính phương
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(< \left(1+\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Áp dụng vào bài toán ta được
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
\(\RightarrowĐPCM\)
\(\sqrt{n^2+n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2}\)
\(=\sqrt{n^2+\left(n^2+n\right)^2+\left(n^2+2n+1\right)}\)
\(=\sqrt{2\left(n^2+n\right)+\left(n^2+n\right)^2+1}=\sqrt{\left(n^2+n+1\right)^2}\)
\(=\left|n^2+n+1\right|=n^2+n+1\) vì \(n^2+n+1=\left(n+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)
Do đó nếu \(\sqrt{n^2+n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2}\) là số nguyên nếu n là số nguyên