Question

[Bảo Thiii]

chứng minh rằng nếu ba điểm  A,B và C không thẳng hàng thì các điểm A', B' và C' đối xứng với chúng qua điểm O cũng không thẳng hàng

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

A,B,C không thẳng hàng

=>A,B,C là ba đỉnh của ΔABC

=>\(AB+AC>BC;AC+BC>AB;BC+AC>AB\)

Xét tứ giác ABA'B' có

O là trung điểm chung của A'A và BB'

nên ABA'B' là hình bình hành

=>AB=A'B'

Xét tứ giác AC'A'C có

O là trung điểm chung của A'A và C'C

nên AC'A'C là hình bình hành

=>AC=A'C'

Xét tứ giác BC'B'C có

O là trung điểm chung của BB' và CC'

nên BC'B'C là hình bình hành

=>BC=B'C'

\(AB+AC>BC\)

mà AB=A'B' và AC=A'C' và BC=B'C'

nên \(A'B'+A'C'>B'C'\left(1\right)\)

AC+BC>AB

mà AC=A'C' và BC=B'C' và AB=A'B'

nên A'C'+B'C'>A'B'(2)

BA+BC>AC

mà BA=B'A' và BC=B'C' và AC=A'C'

nên B'A'+B'C'>A'C'(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A'B';A'C';B'C' là ba cạnh của một tam giác

=>A',B',C' không thẳng hàng(ĐPCM)