BB
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
PT
1
2 tháng 9 2016
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac.
(1/a + 1/b + 1/c)² = 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2(1/ab + 1/bc + 1/ac) = 4
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2(bcac + abac + abbc)/(a²b²c²) = 4
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2abc(a + b + c)/(a²b²c²) = 4
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2 = 4
(vi` abc(a + b + c) = a² b² c²)
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² = 2 !!
24 tháng 5 2019
Áp dụng bđt Bunhiakovxki
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
24 tháng 5 2019
Ta có: a + b = 1 ⇔ b = 1 – a
Thay vào bất đẳng thức a2 + b2 ≥ 1/2 , ta được:
a2 + (1 – a)2 ≥ 1/2 ⇔ a2 + 1 – 2a + a2 ≥ 1/2
⇔ 2a2 – 2a + 1 ≥ 1/2 ⇔ 4a2 – 4a + 2 ≥ 1
⇔ 4a2 – 4a + 1 ≥ 0 ⇔ (2a – 1)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
NQ
1
18 tháng 9 2019
Ta có a + b =1 \(\Leftrightarrow b=1-a\)
Thay vào bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\) , ta được:
\(a^2+\left(1-a\right)^2\ge\frac{1}{2}\Leftrightarrow a^2+1-2a+a^2̸̸\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2a+1\ge\frac{1}{2}\Leftrightarrow4a^2-4a+2\ge1\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge0\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Chúc bạn học tốt !!!
H
0
TV
8
2 tháng 5 2016
Với mọi a, b ta có :
( a - b) 2 >= 0
<=> a2 - 2ab + b2 >= 0
<=> a2 + b2 >=2ab
<=> 2 ( a2 + b2 ) >= a2 +2ab + b2
<=> 2 (a2 + b2 ) >= ( a + b )2 mà a+b=1 nên 2 ( a2 + b2 ) >=1
<=> a2 + b2 >= 1/2
Dấu “ = " xảy ra khi và chỉ khi : a=b mà a+b=1 nên a=b=1/2
VN
2 tháng 5 2016
Với mọi a, b ta có :
( a - b) 2 >= 0
<=> a2 - 2ab + b2 >= 0
<=> a2 + b2 >=2ab
<=> 2 ( a2 + b2 ) >= a2 +2ab + b2
<=> 2 (a2 + b2 ) >= ( a + b )2 mà a+b=1 nên 2 ( a2 + b2 ) >=1
<=> a2 + b2 >= 1/2
Dấu “ = " xảy ra khi và chỉ khi : a=b mà a+b=1 nên a=b=1/2
VT
Chứng minh rằng nếu a,b,c \(\ge\)0 và abc=1 thì
\(\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{2+c}\le1\)
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 4 2021
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\le1\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+12\le2\left(ab+bc+ca\right)+9\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
Hiển nhiên đúng do: \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)
H
5 tháng 4 2021
Vì abc=1 , ta đặt \(a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}\)
Điều phải chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{1}{2+\dfrac{x}{y}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{y}{z}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{z}{x}}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{y}{2y+x}+\dfrac{z}{2z+y}+\dfrac{x}{2x+z}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2y}{2y+x}+\dfrac{2z}{2z+y}+\dfrac{2x}{2x+z}\le2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+y}+\dfrac{z}{2x+z}\ge1\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
\(\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+x}+\dfrac{z}{2x+z}=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2zx}+\dfrac{z^2}{z^2+2xy}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
=> bài toán được chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 <=>a=b=c=1
PT
1
CM
10 tháng 6 2018
Ta có: a + b = 1 ⇔ b = 1 – a
Thay vào bất đẳng thức a2 + b2 ≥ 1/2 , ta được:
a2 + (1 – a)2 ≥ 1/2 ⇔ a2 + 1 – 2a + a2 ≥ 1/2
⇔ 2a2 – 2a + 1 ≥ 1/2 ⇔ 4a2 – 4a + 2 ≥ 1
⇔ 4a2 – 4a + 1 ≥ 0 ⇔ (2a – 1)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
TC
6 tháng 5 2022
\(a+b=1=>b=1-a\)
\(=>a^2+\left(1-a\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\)
\(=>a^2+1-2a+a^2\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow-2a+2a^2+1\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(-2a+2a^2+1\right).2\ge1\)
\(\Leftrightarrow-4a+4a^2+2\ge1\)
\(\Leftrightarrow-4a+4a^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
\(''=''\left(khi\right)2a-1=0=>a=\dfrac{1}{2}\)
HP
6 tháng 5 2022
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge2ab+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Giải:
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge2ab+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1^2=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Vậy ...
Cách khác :
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki vào bài toán , ta có :
( a2 + b2)( 12 + 12) ≥ ( a + b)2
⇒ a2 + b2 ≥ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = \(\dfrac{1}{2}\)