Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2_2=x_1.x_3\Rightarrow\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2},x^2_3=x_2.x_4\Rightarrow\frac{x_4}{x_3}=\frac{x_3}{x_2}\)\(\Rightarrow\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}=\frac{x_4}{x_3}\)
áp dụng t.c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_3}{x_2}=\frac{x_4}{x_3}=\frac{x_2+x_3+x_4}{x_1+x_2+x_3}\Rightarrow\left(\frac{x_2}{x_1}\cdot\frac{x_3}{x_2}\cdot\frac{x_4}{x_3}\right)=\left(\frac{x_2+x_3+x_4}{x_1+x_2+x_3}\right)^3\Rightarrow\frac{x_4}{x_1}=\left(\frac{x_2+x_3+x_4}{x_1+x_2+x_3}\right)^3\)
\(\Rightarrow\frac{x_1}{x_4}=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{x_2+x_3+x_4}\right)^3\left(đpcm\right)\)
Từ \(X_2^2=X_1.X_3\)\(\Rightarrow\frac{X_1}{X_2}=\frac{X_2}{X_3}\)(1)
Từ \(X_3^2=X_2.X_4\)\(\Rightarrow\frac{X_2}{X_3}=\frac{X_3}{X_4}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{X_1}{X_2}=\frac{X_2}{X_3}=\frac{X_3}{X_4}=\frac{X_1+X_2+X_3}{X_2+X_3+X_4}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{X_1}{X_2}\right)^3=\left(\frac{X_1+X_2+X_3}{X_2+X_3+X_4}\right)^3\)(1)
Từ \(\left(\frac{X_1}{X_2}\right)^3=\frac{X_1}{X_2}.\frac{X_1}{X_2}.\frac{X_1}{X_2}=\frac{X_1}{X_2}.\frac{X_2}{X_3}.\frac{X_3}{X_4}=\frac{X_1}{X_4}\)(2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrowđpcm\)
Áp dụng tc của dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\frac{x_1-1}{10}=.....=\frac{x_{10}-10}{1}=\frac{\left(x_1+x_2+....+x_{10}\right)-\left(1+2+3+...+10\right)}{1+2+3+...+10}\)
\(=\frac{45}{55}=\frac{9}{11}\)
Giải ra ta được
\(x_1=\frac{101}{11}\)
\(x_2=\frac{103}{11}\)
........
\(x_{10}=\frac{119}{11}\)
Ta có: \(2n\)\(⋮\)\(2\)=> 2n là số chẵn
\(\Rightarrow\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}\ge0\)\(\forall x,p,y,q\inℝ;n\inℕ^∗\); \(\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}\ge0\)\(\forall x,p,y,q\inℝ;n\inℕ^∗\);.... ; \(\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\ge0\)\(\forall x,p,y,q\inℝ;m,n\inℕ^∗\)
\(\Rightarrow\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+....+\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\ge0\)\(\forall x,p,y,q\inℝ;m,n\inℕ^∗\)
Mà \(\Rightarrow\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}+\left(x_2p-y_2q\right)^{2n}+....+\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}\le0\)\(m,n\inℕ^∗\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x_1p-y_1q\right)^{2n}=0\\......\\\left(x_mp-y_mq\right)^{2n}=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1p-y_1q=0\\.....\\x_mp-y_mq=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1p=y_1q\\.....\\x_mp=y_mq\end{cases}}\)\(\Rightarrow x_1p+x_2p+....+x_mp=y_1q+y_2q+...+y_mq\)
\(\Rightarrow p\left(x_1+x_2+...+x_m\right)=q\left(y_1+y_2+...+y_m\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x_1+x_2+...+x_m}{y_1+y_2+...+y_m}=\frac{q}{p}\)(đpcm)
Từ \(x_1< x_2\) cộng 2 vế với \(x_1\) ta có:
\(x_1+x_1< x_1+x_2\Rightarrow2x_1< x_1+x_2\)
Chia 2 vế cho 2 ta được: \(x_1< \frac{x_1+x_2}{2}\left(1\right)\)
Từ \(x_1< x_2\) cộng 2 vế với \(x_2\) ta có:
\(x_1+x_2< x_2+x_2\Rightarrow x_1+x_2< 2x_2\)
Chia 2 vế cho 2 ta được: \(\frac{x_1+x_2}{2}< x_2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có ĐPCM
\(\dfrac{x_1}{a_1}=\dfrac{x_2}{a_2}=...=\dfrac{x_n}{a_n}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_{n-1}+x_n}{a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n}\)
\(=\dfrac{c}{a_1+a_2+...+a_n}\)
Suy ra:
\(x_1=\dfrac{a_1.c}{a_1+a_2+...+a_n}\)
\(x_2=\dfrac{a_2.c}{a_1+a_2+...+a_n}\)
.........................................
\(x_n=\dfrac{a_n.c}{a_1+a_2+...+a_n}\)
Ta có :
\(x_1< x_2< x_3< x_4\Rightarrow x_1+x_2+x_3+x_4< 4x_4\) (1)
\(x_5< x_6< x_7< x_8\Rightarrow x_5+x_6+x_7+x_8< 4x_8\)(2)
\(x_9< x_{10}< x_{11}< x_{12}\Rightarrow x_9+x_{10}+x_{11}+x_{12}< 4x_{12}\)(3)
\(x_{13}< x_{14}< x_{15}< x_{16}\Rightarrow x_{13}+x_{14}+x_{15}+x_{16}< 4x_{16}\)(4)
Cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ; (4) ta được :
\(x_1+x_2+x_3+....+x_{16}< 4x_4+4x_8+4x_{12}+4x_{16}=4\left(x_4+x_8+x_{12}+x_{16}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x_1+x_2+x_3+.....+x_{16}}{x_4+x_8+x_{12}+x_{16}}< 4\) (đpcm)