Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A=n^5-n-5n
n^5-n chia hết cho 5 do 5 là số nguyên tố
-5n chia hết cho 5
=>A chia hết cho 5
Bài làm :
\(a\text{)}\left(n^3-n\right)=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp ⋮ 6 nên : n3 - n ⋮ 6
=> Điều phải chứng minh
\(b\text{)}n^5-m=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2-4\right)+5\right]=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì :
- n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là tích 5 số liên tiếp nên n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) ⋮ 5
- 5n(n-1)(n+1) ⋮ 5
=> (n5-n) ⋮5
=> Điều phải chứng minh
\(\text{c)}n^5-5n^3+4n=n\left(n^4-5n^2+4\right)=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)=n\text{[}n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-1\right)\text{]}=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\text{Vì : }n-2;n-1;n;n+1;n+2\text{là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3,5,8}\)
Mà 3,5,8 nguyên tố cùng nhau nên :
\(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3.5.8=120\) \(\)
=> Điều phải chứng minh
a) n3 - n = n( n2 - 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )
Ta có n( n - 1 ) là hai số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 2 (1)
n( n - 1 )( n + 1 ) là ba số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) => n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 6 hay n3 - n chia hết cho 6 ( đpcm )
b) n5 - n = n( n4 - 1 ) = n( n2 - 1 )( n2 + 1 ) = n( n - 1 )( n + 1 )( n2 + 1 )
= n( n - 1 )( n + 1 )[ ( n2 - 4 ) + 5 ]
= n( n - 1 )( n + 1 )( n2 - 4 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )
= n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) + 5n( n - 1 )( n + 1 )
n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5 (1)
5n( n - 1 )( n + 1 ) chia hết cho 5 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
c) n5 - 5n3 + 4n = n( n4 - 5n2 + 4 )
Xét n4 - 5n2 + 4 (*)
Đặt t = n2
(*) <=> t2 - 5t + 4 = t2 - t - 4t + 4 = t( t - 1 ) - 4( t - 1 ) = ( t - 1 )( t - 4 ) = ( n2 - 1 )( n2 - 4 )
=> n( n4 - 5n2 + 4 ) = n( n2 - 1 )( n2 - 4 ) = n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 )
n( n - 1 ) là tích của hai số nguyên liên tiếp => chia hết cho 2 (1)
n( n - 1 )( n + 1 ) là tích của 3 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 3 (2)
n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 ) là tích của 4 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 4 (3)
n( n - 1 )( n + 1 )( n - 2 )( n + 2 ) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 5 (4)
Từ (1), (2), (3) và (4) => đpcm
\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\)
\(=n^2+5n-n^2-2n+3n+6\)
\(=6n+6\)
\(=6\left(n+1\right)\) chia hết cho 6
=>\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 6
Câu a đề sai rồi bạn
b: \(=n^2-1-n^2+12n-35=12n-36⋮12\)
( n - 1 )( n + 1 ) - ( n - 7 )( n - 5 )
= ( n^2 + n - n - 1 ) - ( n^2 - 5n - 7n + 35 )
= n^2 - 1 - n^2 + 12n - 35
= -1 + 12n - 35
= 12n - 36
= 12( n - 3 ) \(⋮12\)
\(\left(n-1\right)\left(n+1\right)-\left(n-7\right)\left(n-5\right)\)
\(=n^2-1-\left(n^2-12n+35\right)=n^2-1-n^2+12n-35\)
\(=12n-36=12\left(n-3\right)\)\(⋮12\)(đpcm).
\(n^5-n=n\cdot\left(n^4-1\right)=n\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
TH1: n = 5k => đpcm
TH2: n = 5k+1 => n-1 chia hết cho 5 => đpcm
TH3: n = 5k + 2 => n2+1=(5k+2)2+1=25k2+20k+5=5(5k2+4k+1) chia hết cho 5 => đpcm
TH4: n = 5k + 3 => n2+1=(5k+3)2+1=25k2+30k+10=5(5k2+6k+2) chia hết cho 5 => đpcm
TH5: n = 5k + 4 => n+1 chia hết cho 5 => đpcm
Vậy với n thuộc Z thì n5-n luôn chia hết cho 5
Ta có:
\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
Do \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (n\(\in Z\))
nên \(A⋮2.3=6\) (1)Do (2,3)=1
Ta cũng có:
\(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Do \(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\)
\(\Rightarrow A⋮5\) (2)
Từ (1); (2) \(\Rightarrow A⋮6.5=30\) Do (6,5)=1
\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)
\(=n\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)\)
\(=n\left(n^2+1\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n^2+5-4\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)(tích 3 số liên tiếp)
\(=n\left(n^2-4\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\left(đpcm\right)\)(tích 5 số liên tiếp và 1 tích có thừa số 5)
\(\Rightarrow A⋮30\)
Ta có:
\(n^5-n\)
\(=n\left(n^4-1\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n^2-1\right)\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)
Vì \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5 (đpcm)