Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nhân tung 2 vế ra rồi áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số theo 2 nhóm (nhân ra rút gọn là thấy ngay)
2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số \(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.
Giả sử đó là a2 - 1 và b2 - 1. Khi đó \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\) (2)
Mà \(4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\) (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)
Từ (2) và (3) ta có đpcm.
Sai thì chịu
Xí quên bài 2 b:v
b) Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0\)
Suy ra \(a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0\)
\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}\)
Hay \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)\)
Suy ra \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)\)
\(\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunhiacopxki) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Sử dụng BĐT: \(\left(x+y+z\right)^3\ge27xyz\Rightarrow\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\ge xyz\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1+a+1+b+1+c}{3}\right)^3\ge\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Cộng vế với vế:
\(1\ge\frac{1+\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
Dấu "=" 3 BĐT trên xảy ra khi \(a=b=c\)
Lại có:
\(1+\sqrt[3]{abc}\ge2\sqrt{\sqrt[3]{abc}}\Rightarrow\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\ge\left(2\sqrt{\sqrt[3]{abc}}\right)^3=8\sqrt{abc}\)Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Xét \(2\left(a+b+c\right)=2a+2b+2c=\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\)
Áp dụng bđt cosi cho 3 bộ số ta có :
\(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)(Dấu "=" xảy ra khi a = b = c)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge\frac{3}{2}\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
tham khảo lời giải của Sagittarius912 , do cái URL bị lỗi nên không có ảnh :(
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}=\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{c}{1+c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
ơ nhầm rồi :( tiếp tục là dòng đó luôn nha bạn \(+\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}=\frac{3+3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(< =>1+1+1\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(< =>3\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)\)
\(< =>\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)^3\left(Q.E.D\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
ta có
- ( /a/+/b/)^2=/a/^2+2/a/ /b/+/b/^2=a^2+2/ab/+b^2
- /a+b/^2=a^2+2ab+b^2
do 2/ab/>= 2ab (dấu = xảy ra khi ab>=0)
=>a^+b^2+2/ab/>2=a^2+b^2+2ab=> đpcm
BĐT cần C/m
\(\Leftrightarrow\left(|a|+|b|\right)^2\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2|ab|+b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow|ab|\ge ab\)\(\RightarrowĐPCm\)