Question

[Feliks Zemdegs]

Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n sao cho 2010ⁿ – 1 chia hết cho 1010ⁿ – 1 

Answer 1

[Trần Thị Loan]

Gỉa sử tồn tại số tự nhiên n để 2010ⁿ - 1 chia hết cho 1010ⁿ - 1

Vì 2010 chia hết cho 3 nên 2010ⁿ chia hết cho 3 => 2010ⁿ - 1 không chia hết cho 3  => 1010ⁿ - 1 không chia hết cho 3

Mà  1010 đồng dư với -1 ( mod 3) => 1010ⁿ  - 1 đồng dư với (-1)ⁿ - 1 (mod 3)  => (-1)ⁿ - 1 khác 0 => n lẻ 

+) Vì 1010ⁿ - 1 chia hết cho 1010 - 1 = 1009 nên 2010ⁿ - 1 chia hết cho 1009 Hay 2010ⁿ đồng dư với 1 ( mod 1009)

Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất mà 2010^k đồng dư với 1 ( mod 1009) => n chia hết cho k Mà n lẻ nên k lẻ

+) Ta lại có: 1009 là số nguyên tố và  nguyên tố cùng nhau với 2010. Theo ĐL Fermat nhỏ có: 2010¹⁰⁰⁸ đồng dư với 1 (mod 1009)

Vì k là số nguyên dương nhỏ nhất để 2010^k đồng dư với 1 ( mod 1009) nên k là ước của 1008

1008 = 2⁴.3². 7 Mà k lẻ nên k có thể bằng 3;7;9;21;27; 63

Thử các giá trị của k

Vì 2010 đồng dư với -8 (mod 1009) nên 2010³ đồng dư với -512 (mod 1009) => Loại k = 3

tương tự với k = 7; 9 => Loại

2010⁹ đồng dư với 8⁹ (mod 1009) ; 8⁹ đồng dư với 548 (mod 1009)

=> 2010²⁷ đồng dư với 548³ ( mod 1009); 548³ đồng dư với 710 ( mod 1009)

=> k = 27 Loại

Làm tương tự với k = 63 => Loại

Vậy không có giá trị nào của k thỏa mãn y/c => điều giả sử sai

=> Không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn y/ c