Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà họ \(\Delta_{\alpha}\) không đi qua. Khi đó phương trình sau vô nghiệm với mọi m : \(m^2-2\left(x^3_0+x_0\right)m+y_0+x^2_0-x_0-2=0\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(x^3_0+x_0\right)^2-\left(y_0+x^2_0-x_0-2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow y_0>x^6_0+2x^4_0+x_0+2\)
Xét phương trình : \(2mx^3-x^2+\left(2m+1\right)x-m^2+2=x^6+2x^4+x+2\)
\(\Leftrightarrow m^2-2\left(x^3+x\right)m+\left(x^3+x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+x-m\right)^2=0\) (*)
Vì phương trình \(x^3+x-m=0\) luôn có nghiệm nên (*) luôn có nghiệm bội.
Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường cong \(y=x^6+2x^4+x+2\)
Khi đó:
hay
Cách 2: Gọi
Hay
Xét đường biên:
Lập phương trình hoành độ giao điểm ta được:
Phương trình này luôn có 1 nghiệm kép nên (dm) luôn tiếp xúc (P)
Giả sử \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường thẳng \(y=ax+b\), khi đó phương trình sau có nghiệm với mọi m :
\(\begin{cases}\frac{\left(3m+1\right)x+m-m^2}{x+m}=ax+b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}3m+1-\frac{4m^2}{x+m}=a\left(x+m\right)am+b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{8m^2}{x+m}=am+3m+1-b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(am+3m+1-b\right)^2}{16m^2}=a\) với mọi m
\(\Leftrightarrow\left(a^2-10a+9\right)m^2+2\left(a+3\right)\left(1-b\right)m+\left(1-b\right)^2=0\) với mọi m
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-10a+9=0\\\left(a+3\right)\left(1-b\right)=0\\\left(1-b\right)^2=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=1;a=9\\b=1\end{cases}\)
Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng \(y=x+1;y=9x+1\)
Vậy \(S=4\pi r^2=4\pi\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2=2\pi a^2\) và \(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^3=\dfrac{1}{3}\pi a^3\sqrt{2}\)
Vì ta chưa xác định được hình dạng của đường cong cố định nên ta sử dụng phương pháp đường biên của hình lồi
Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà họ \(\Delta_{\alpha}\) không đi qua. Khi đó phương trình sau vô nghiệm với mọi \(\alpha\)
\(2x_0\sin\alpha+2y_0\cos\alpha+4\sin\alpha+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x_0+4\right)\sin\alpha+2y_0\cos\alpha+1=0\) (*)
(*) vô nghiệm \(\Leftrightarrow\left(2x_0+4\right)^2+4y^2_0< 1\Leftrightarrow\left(x_0+2\right)^2+y_0^2< \frac{1}{4}\)
Xét đường tròn (C) tâm I(-2;0) và bán kính \(R=\frac{1}{2}\) , ta có :
\(d\left(I,\Delta_{\alpha}\right)=\frac{\left|-4\sin\alpha+2.0\cos\alpha+4\sin\alpha+1\right|}{\sqrt{4\sin^2\alpha+4\cos^2\alpha}}=\frac{1}{2}=R\Rightarrow\Delta_{\alpha}\) luôn tiếp với (C)