Question

[Ngọc Phan]

Chứng minh rằng: \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\);với a,b,c>0

Answer 1

[Phước Nguyễn]

Ta có:

Từ \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)   (bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương  \(a,b\))

nên nhân \(\frac{1}{4\left(a+b\right)}\) vào cả hai vế của bđt trên, ta được:

 \(\frac{a+b}{4}\ge\frac{ab}{a+b}\)  \(\left(1\right)\)

Tương tự, ta cũng có  \(\frac{b+c}{4}\ge\frac{bc}{b+c}\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\frac{c+a}{4}\ge\frac{ca}{c+a}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế của bđt \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\), ta được:

\(\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}\ge\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\), tức \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\le\frac{a+b+c}{2}\)  \(\left(đpcm\right)\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b=c\)