Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh rằng nếu a,b,c \(\ge\)0 và abc=1 thì
\(\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{2+c}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+2\right)\left(b+2\right)+\left(b+2\right)\left(c+2\right)+\left(c+2\right)\left(a+2\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\le1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca+4\left(a+b+c\right)+12}{abc+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+8}\le1\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+12\le2\left(ab+bc+ca\right)+9\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\ge3\)
Hiển nhiên đúng do: \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)
Vì abc=1 , ta đặt \(a=\dfrac{x}{y};b=\dfrac{y}{z};c=\dfrac{z}{x}\)
Điều phải chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{1}{2+\dfrac{x}{y}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{y}{z}}+\dfrac{1}{2+\dfrac{z}{x}}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{y}{2y+x}+\dfrac{z}{2z+y}+\dfrac{x}{2x+z}\le1\\ \Leftrightarrow\dfrac{2y}{2y+x}+\dfrac{2z}{2z+y}+\dfrac{2x}{2x+z}\le2\\ \Leftrightarrow\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+y}+\dfrac{z}{2x+z}\ge1\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
\(\dfrac{x}{2y+x}+\dfrac{y}{2z+x}+\dfrac{z}{2x+z}=\dfrac{x^2}{x^2+2xy}+\dfrac{y^2}{y^2+2zx}+\dfrac{z^2}{z^2+2xy}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
=> bài toán được chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 <=>a=b=c=1
1.
Ta có:
\(x^4+y^4\ge\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x^2+y^2\right)xy\)
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P, áp dụng bồ đề vừa chứng minh ta có:
\(P\le\dfrac{a.abc}{bc\left(b^2+c^2\right)+a.abc}+\dfrac{b.abc}{ca\left(c^2+a^2\right)+b.abc}+\dfrac{c.abc}{ab\left(a^2+b^2\right)+c.abc}\)
\(P\le\dfrac{a^2.bc}{bc\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2.ac}{ca\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2.ab}{ab\left(a^2+b^2+c^2\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
2.
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
C1:Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{1^2}{a+b}+\dfrac{1^2}{b+c}+\dfrac{1^2}{c+a}\ge\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow A=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)=\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{9}{2}\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
C2: Khai triển
\(A=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)=\)
\(=1+\dfrac{c}{a+b}+1+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}\) (bn tự khai triển đầy đủ nha)
Áp dụng BĐT Nesbitt ta có:
\(A=\left(1+1+1\right)+\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\ge\)
\(\left(1+1+1\right)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Ta có:
\(\sum\dfrac{ab+c}{c+1}=\sum\dfrac{ab+c}{a+c+b+c}\le\sum\dfrac{ab+c}{4}.\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)=\dfrac{a+b+c+3}{4}=\dfrac{4}{4}=1\)
Ta có : \(\frac{ab+c}{c+1}=\frac{ab+c\left(a+b+c\right)}{c+a+b+c}=\frac{a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)}{c+a+b+c}=\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{c+a+b+c}\)
Do \(a;b;c>0\Rightarrow a+c;b+c>0\)
Áp dụng BĐT phụ : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) , ta có :
\(\frac{ab+c}{c+1}\le\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{4}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{4}.\frac{a+b+c+c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=\frac{c+1}{4}\left(1\right)\)
Tương tự , ta có : \(\frac{bc+a}{a+1}\le\frac{a+1}{4}\) ; \(\frac{ac+b}{b+1}\le\frac{b+1}{4}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) có : \(\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ac+b}{b+1}\le\frac{a+1+b+1+c+1}{4}=\frac{a+b+c+3}{4}=1\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy ...
Ta có :
\(\dfrac{a^2}{a^2+3}>\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2+4}\)
\(\dfrac{b^2}{b^2+2}>\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2+4}\)
\(\dfrac{c^2}{c^2+1}>\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2+4}\)
\(\dfrac{4}{a^2+4+c^2}\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+c^2+4}\)
Cộng vế với vế lại ta được :
\(P>\dfrac{a^2+b^2+c^2+4}{a^2+b^2+c^2+4}=1\) (đpcm)
Vơi mọi a, b ta luôn có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{a^2+1}\le\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{b^2+1}\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng hai vế, ta được đpcm. Dấu '=' xảy ra khi a = b = 1
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\begin{cases} a \leq \dfrac{a^{2}+1}{2}\\ b \leq \dfrac{b^{2}+1}{2} \end{cases}\) (BĐT này đúng với mọi a,b)
Cộng hai vế này với nhau ta được:
\(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}\)\(\leq\) \(\dfrac{\dfrac{a^2+1}{2}}{a^2+1}+\dfrac{\dfrac{b^2+1}{2}}{b^2+1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{b}{b^2+1}\) \(\leq\) 1
Dấu'=' xảy ra khi a=b=1