Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{yz+zx+xy}{xyz}=0\) (Quy đồng)
\(\Rightarrow yz+zx+xy=0\)
Vì:
\(\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)^2=0\)
\(2\left(x^4y^{ }^4+y^4z^4+z^4x^4\right)=0\)
Nên.....(tự kết luận nha)
giải chi tiết ( vì sao ) đoạn dưới đây = 0 hộ mk vs :
vì \(\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)^2=0\)
\(2\left(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4\right)=0\)
2/a/\(\Leftrightarrow9x^2-18x+9+y^2-6y+9+2z^2+4z+2=0\)
\(\Leftrightarrow9\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+2\left(z+1\right)^2=0\).Từ đó suy ra
\(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-3=0\\z+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=3\\z=-1\end{matrix}\right.\)
b/\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Rightarrow ayz+bzx+cxy=0\)
Ta có \(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ac}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{ayz+bzx+cxy}{abc}=1\)
\(\RightarrowĐPCM\)
1/Mạn phép sửa đề :\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+y^2+2x-2y-1=0\left(1\right)\\2x\left(x+y\right)=2\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng (1) và (2) đc \(x^2-2xy+y^2+2x-2y-1=-2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+2\left(x-y\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2=0\)
Suy ra x-y=-1.Thế ngược lại vào 2 tìm đc x,y
.Nếu mà bạn giữ nguyên đề như vậy thì
Giải phương trình để tìm x bằng cách tìm a, b, và c
của phương trình bậc hai sau đó áp dụng công thức phương trình bậc hai. x=−1−√−3y2+6y+43 Lớp 9 x=−1+√−3y2+6y+43
Theo Cauche có:
\(\left(x+x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge4\sqrt[4]{x^2yz}.4\sqrt[4]{\frac{1}{x^2.y.z}}=16\)
=> \(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{2x+y+z}\). Tương tự có:
\(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{x+2y+z}\) và \(\frac{2}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\ge\frac{16}{x+y+2z}\)
=> \(16.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{2}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{2}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(16.\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le4.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=4.4=16\)
Chia cả 2 vế cho 16 => ĐPCM
\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\)
\(=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}+\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{16}{2x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{16}.\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{2x+y+z}\)
CMTT: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\), \(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}.4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{16}.16=1\)
\(''=''\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{4}\)
đặt a = 2x+y+z ; b = 2y+z+x ; c = 2z+x+y => a+b+c = 4x+4y+4z
=> a - (a+b+c)/4 = x => x = (3a-b-c)/4 ; tương tự y = (3b-c-a)/4 ; z = (3c-a-b)/4
thay vào vế trái ta có
P = (3a-b-c)/4a + (3b-c-a)/4b + (3c-a-b)/4c =
= 9/4 - (b/4a + c/4a + c/4b + a/4b + a/4c + b/4c)
= 9/4 - (1/4)(b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c)
Côsi cho từng cặp ta có: b/a+a/b ≥ 2 ; c/a+a/c ≥ 2 ; c/b+b/c ≥ 2
=> b/a+a/b + c/a+a/c + c/b+b/c ≥ 6
=> -(1/4)(b/a+a/b +c/a+a/c + c/b+b/c) ≤ -6/4 thay vào P ta có:
P ≤ 9/4 - 6/4 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c hay x = y = z
cách này tuy biến đổi dài nhưng dễ hiểu)
------------
Cách khác:
P = x/(2x+y+z) -1 + y/(2y+z+x) -1 + z/(2z+x+y) - 1 + 3
= -(x+y+z)/(2x+y+z) -(x+y+z)/(2y+z+x) -(x+y+z)/(2z+x+y) + 3
= -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] + 3
- - -
Côsi cho 3 số:
2x+y+z + 2y+z+x + 2z+x+y ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y)
=> 4(x+y+z) ≥ 3.³√(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (1*)
Côsi cho 3 số:
1/(2x+y+z)+1/(2y+z+x)+1/(2z+x+y) ≥ 3³√1/(2x+y+z)(2y+z+x)(2z+x+y) (2*)
Lấy (1*) *(2*) ta có:
4(x+y+z)[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≥ 9
=> -(x+y+z).[1/(2x+y+z) + 1/(2y+z+x) + 1/(2z+x+y)] ≤ -9/4
thay vào P ta có:
P ≤ -9/4 + 3 = 3/4 (đpcm) ; dấu "=" khi x = y = z
Bạn ơi vì sao lại nhân với 9/4 mình tưởng chỉ nhân với 3/4 thôi chứ nhỉ
Bài này bạn quy về bđt ở dưới ấy!