TK
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TK
1
PN
5 tháng 7 2020
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
5 tháng 7 2020
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
9 tháng 6 2018
Sử dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(x^3+y^2\ge2yx\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2yx\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\)
Tương tự cộng lại suy ra:
\(VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
PA
25 tháng 1 2017
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)
\(\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)
yz + xz + xy = 0
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=x^2+y^2+z^2+2\times\left(xy+xz+yz\right)=x^2+y^2+z^2+2\times0=x^2+y^2+z^2\left(\text{đ}pcm\right)\)
25 tháng 1 2017
a) Từ giả thiết suy ra: xy + yz + zx = 0
Do đó:
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\)
b) Đặt \(\frac{1}{a-b}=x\); \(\frac{1}{b-c}=y\); \(\frac{1}{c-a}=z\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=a-b+b-c+c-a=0\)
Theo câu a ta có: \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2\)
Suy ra điều phải chứng minh
DL
11 tháng 5 2017
\(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\right)\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu ''='' chỉ xảy ra khi x=y=z=1
Để mình nghiên cứu giải cách khác
DL
11 tháng 5 2017
Mình giải áp dụng theo BĐT Nesbit (3 phần tử giống với đề bài )
Mình chứng minh theo Nesbit :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=\frac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\ge6\)
Giả sử : \(\frac{x^2+1}{x^2+x+1}>\frac{2}{3}\)\(\Leftrightarrow3x^2+3>2x^2+2x+2\Leftrightarrow x^2-2x+1>0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2>0\)(đúng), vậy BĐT được chứng minh.
Cho mình bổ sung thêm dấu "=" trong mỗi phép biến đổi tương đương ở trên, vì với x = 1 thì đẳng thức xảy ra.