Câu hỏi của coolkid

Question

Chứng minh rằng $A=2^{2^n}+4^n+16⋮3$ với $\forall n\in Z^+$

Phùng Minh Quân · Accepted Answer

chỉ cần CM $Q=2^{2^n}+4^n+1⋮3$ là ok Với n=1 thì $Q⋮3$Giả sử Q vẫn chia hết cho 3 đến n=k, ta có: $Q=2^{2^k}+4^k+1⋮3$Với n=k+1 thì $Q=2^{2^k.2}+4^{k+1}+1=2^{2^k}.2^{2^k}+4^k.4+1$$=\left(2^{2^k}.2^{2^k}+2^{2^k}.4^k+2^{2^k}\right)-\left(2^{2^k}.4^k+2^{2^k}-4^k.4-4\right)-3$$=2^{2^k}\left(2^{2^k}+4^k+1\right)-\left(4^k+1\right)\left(2^{2^k}-4\right)-3$$=2^{2^k}Q-\left(4^k+1\right)\left(4^{2^{k-1}}-1-3\right)-3⋮3$ do $\left(4^{2^{k-1}}-1\right)⋮\left(4-1\right)=3$Câu trả lời: chỉ cần CM $Q=2^{2^n}+4^n+1⋮3$ là ok Với n=1 thì $Q⋮3$Giả sử Q vẫn chia hết cho 3 đến n=k, ta có: $Q=2^{2^k}+4^k+1⋮3$Với n=k+1 thì $Q=2^{2^k.2}+4^{k+1}+1=2^{2^k}.2^{2^k}+4^k.4+1$$=\left(2^{2^k}.2^{2^k}+2^{2^k}.4^k+2^{2^k}\right)-\left(2^{2^k}.4^k+2^{2^k}-4^k.4-4\right)-3$$=2^{2^k}\left(2^{2^k}+4^k+1\right)-\left(4^k+1\right)\left(2^{2^k}-4\right)-3$$=2^{2^k}Q-\left(4^k+1\right)\left(4^{2^{k-1}}-1-3\right)-3⋮3$ do $\left(4^{2^{k-1}}-1\right)⋮\left(4-1\right)=3$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP