NT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NQ
1
18 tháng 9 2019
Ta có a + b =1 \(\Leftrightarrow b=1-a\)
Thay vào bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\) , ta được:
\(a^2+\left(1-a\right)^2\ge\frac{1}{2}\Leftrightarrow a^2+1-2a+a^2̸̸\ge\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2a+1\ge\frac{1}{2}\Leftrightarrow4a^2-4a+2\ge1\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge0\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Chúc bạn học tốt !!!
DP
1
28 tháng 8 2017
Ta có :
\(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\Rightarrow a^2+1\ge2a\)(1)
\(\left(b-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\Rightarrow b^2+1\ge2b\)(2)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(3)
Cộng các vế tương ứng của (1);(2);(3) lại ta được :
\(\left(a^2+1\right)+\left(b^2+1\right)+\left(a^2+b^2\right)\ge2a+2b+2ab\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2a+2b+2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)(đpcm)
4 tháng 4 2015
Câu a)
Ta có a + b \(\ge\)1 => a \(\ge\) 1 - b
Nên a2 + b2 \(\ge\) (1 - b)2 + b2 = 2b2 - 2b + 1 = 2(b2 - 2b.1/2 + 1/4 + 1/2) = 2(b - 1/2)2 + 1 \(\ge\) 1
Câu b) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
(x + y)2 = (1.x + 1.y)2 \(\le\) (12 + 12)(x2 + y2) = 2.1 = 2
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
4 tháng 4 2015
câu1 : cần sửa lại là A2 + B2 \(\ge\frac{1}{2}\)
Ta chứng minh được : (A+B)2 \(\le2.\left(A^2+B^2\right)\) (*)
<=> A2 + B2 + 2A.B \(\le\) 2. (A2 + B2)
<=> 0 \(\le\) A2 + B2 - 2.A.B <=> 0 \(\le\) (A-B)2 luôn đúng => (*) đúng
b) Áp sung câu a => (x+y)2 \(\le\)2.(x2 + y2) = 2 => đpcm
23 tháng 6 2018
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)}{a^2b^2}=\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\)
ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0;a^2+ab+b^2>0;a^2b^2>0\)
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
12 tháng 9 2019
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\) ( 1 )
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+xy^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\) ( 2 )
\(\Rightarrow\)Bất đẳng thức ( 2 ) \(\Rightarrow\) Bất đẳng thức ( 1 )
( Dấu " = " xảy ra khi x = y )
Chúc bạn học tốt !!!
VH
15 tháng 7 2019
1) Đề sai, thử với x = -2 là thấy không thỏa mãn.
Giả sử cho rằng với đề là x không âm thì áp dụng BĐT Cauchy:
\(A=\)\(\frac{2x}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}=\frac{x-3}{3}+\frac{x-3}{3}+\frac{9}{\left(x-3\right)^2}+2\)
\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(x-3\right).\left(x-3\right).9}{3.3.\left(x-3\right)^2}}+2=3+2=5>1\)
Không thể xảy ra dấu đẳng thức.
5 tháng 12 2016
Mình sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương nhé :)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT ban đầu được chứng minh.
Với mọi \(x\in R\) ta có :
\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{2a}{2\left(a^2+1\right)}\le\frac{a^2+1}{2\left(a^2+1\right)}\)
\(\Leftrightarrow2a\le a^2+1\) ( do \(2\left(a^2+1\right)>0\) )
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\) là bất đẳng thức đúng :
Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{2}\) với mọi \(a\in R\)
Chúc bạn học tốt !!!
Miền giá trị thử ạ:)
Đặt \(f=\frac{a}{a^2+1}\)
Ta có:\(f\left(a^2+1\right)=a\)
\(\Leftrightarrow fa^2+f-a=0\)
Với \(f=0\Rightarrow a=0\)
Với \(f\ne0\) thì \(f\) là pt bậc 2 ẩn a nên \(\Delta_a=1-4f^2\ge0\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le\left|f\right|\le\frac{1}{2}\)
\(\left|f\right|\le\frac{1}{2}\) Dấu "=" xảy ra tại \(a=\frac{1}{2f}=1\)
P/S:E mới học nên ko chắc đâu ạ