Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh rằng (a-1/b)(b-1/c)(c-1/a)>=(a-1/a)(b-1/b)(c-1/c) trong đó a,b,c là các số thực nhỏ hơn 1
Xét ~~~~\(\left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{c}\right)\left(c-\frac{1}{a}\right)\ge\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(b-\frac{1}{b}\right)\left(c-\frac{1}{c}\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)}{abc}\ge\frac{\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)}{abc}\)\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\)(Do a,b,c không nhỏ hơn 1 nên abc > 0)\(\Leftrightarrow a^2b^2c^2-\left(abc^2+ab^2c+a^2bc\right)+\left(ab+bc+ca\right)-1\ge a^2b^2c^2-\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)-1\)\(\Leftrightarrow-\left(abc^2+ab^2c+a^2bc\right)+\left(ab+bc+ca\right)\ge-\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\Leftrightarrow2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-2\left(abc^2+ab^2c+a^2bc\right)\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\)\(\Leftrightarrow\left(bc-ca\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(ca-ab\right)^2\ge\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)\(\Leftrightarrow c^2\left(a-b\right)^2+b^2\left(a-c\right)^2+a^2\left(b-c\right)^2\ge\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)\(\Leftrightarrow\left(c^2-1\right)\left(a-b\right)^2+\left(b^2-1\right)\left(a-c\right)^2+\left(a^2-1\right)\left(b-c\right)^2\ge0\)(Đúng do a,b,c không nhỏ hơn 1)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc (a,b,c) = (1,1,k) (k bất kì) và các hoán vị
Câu hỏi của Adminbird - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
Ta có :
\(\left(a-\frac{1}{b}\right)\left(b-\frac{1}{c}\right)\left(c-\frac{1}{a}\right)\ge\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(b-\frac{1}{b}\right)\left(c-\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ac-1\right)}{abc}\ge\frac{\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ac-1\right)\ge\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ac\right)^2+\left(ac-ab\right)^2\ge\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)^2\left(b^2-1\right)+\left(b-c\right)^2\left(a^2-1\right)+\left(a-b\right)^2\left(c^2-1\right)\ge0\left(1\right)\)
Do a,b,c là các số thực dương không nhỏ hơn 1 nên (1) đúng .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và khỉ khi : \(\hept{\begin{cases}\left(a-c\right)^2\left(b^2-1\right)=0\\\left(b-c\right)^2\left(a^2-1\right)=0\\\left(a-b\right)^2\left(c^2-1\right)=0\end{cases}\Rightarrow a=b=c}\)
Dấu "=" còn xảy ra ở các TH:
a = b = 1, c bất kì .
a = c =1, b bất kì
b = c = 1, a bất kì
( a, b, c ko nhỏ hơn 1 )
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=1\Leftrightarrow ab+bc+ac=abc\)
kết hợp gt: a+b+c=1
\(\Rightarrow abc-ab-ac-bc+a+b+c-1=0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\left(đpcm\right)\)