K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TM
0
N
16 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(VT=\sum\dfrac{a^4}{b^3\left(c+2a\right)}=\sum\dfrac{\dfrac{a^4}{b^2}}{b\left(c+2a\right)}\ge\dfrac{\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
CM
1
20 tháng 7 2018
Áp dụng bđt Bunhiacopxki cho 3 số a,a,b, ta có:
3(b^2+2a^2)^3=(1^2+1^2+1^2)(a^2+a^2+b^2)>=(a+a+b)^2=(b+2a)^2
CM
15 tháng 11 2020
1)
\(2a+\frac{4}{a}+\frac{16}{a+2}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+\left[\left(a+2\right)+\frac{16}{a+2}\right]-2\ge4+8-2=10\)
Dấu "=" xảy ra khi a=2
CM
15 tháng 11 2020
2)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a\left(1-4a\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4a\left(1-4a\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4a+1-4a}{2}=\frac{1}{4}\\\sqrt{b\left(1-4b\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4\left(1-4a\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4b+1-4b}{2}=\frac{1}{4}\\\sqrt{c\left(1-4c\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{4c\left(1-4c\right)}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{4c+1-4c}{2}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a\left(1-4a\right)}+\sqrt{b\left(1-4b\right)}+\sqrt{c\left(1-4c\right)}\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{8}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 11 2019
\(VT=\frac{b^2c^2}{b+c}+\frac{a^2c^2}{a+c}+\frac{a^2b^2}{a+b}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3abc\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
21 tháng 3 2021
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+2b^2}=a-\dfrac{2ab^2}{a^2+2b^2}\ge a-\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a^2b^4}}=a-\dfrac{2}{3}\sqrt[3]{ab^2}\ge a-\dfrac{2}{9}\left(a+b+b\right)=a-\dfrac{2}{9}\left(a+2b\right)\) Chứng minh tương tự ta được:
\(\dfrac{b^3}{b^2+2c^2}\ge b-\dfrac{2}{9}\left(b+2c\right);\dfrac{c^3}{c^2+2a^2}\ge c-\dfrac{2}{9}\left(c+2a\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{a^2+2b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+2c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+2a^2}\ge a+b+c-\dfrac{2}{9}\left(a+2b+b+2c+c+2a\right)=a+b+c-\dfrac{2}{9}\left(3a+3b+3c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{1}{3}\cdot3\sqrt[3]{abc}=1\)Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
1 tháng 12 2019
Có: \(\frac{a^4}{b^2c}+\frac{b^4}{c^2a}+b\ge\frac{3ab}{c}\)
Tương tự, ta cũng được: \(\Sigma_{cyc}\frac{a^4}{b^2c}\ge\frac{3}{2}\Sigma_{cyc}\frac{ab}{c}-\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}a\)
Cần CM: \(\Sigma_{cyc}\frac{ab}{c}\ge\Sigma_{cyc}a\)
Có: \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)
Tương tự, ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Ta có:a4+16-2a3-8a
=(a4-8a2+16)-(2a3-8a2+8a)
=(a2-4)2-2a(a-2)2
=(a-2)2[(a+2)2-2a]
=(a-2)2(a2+4a+4-2a)
=(a-2)2(a2+2a+4)
=(a-2)2[(a+1)2+3]\(\)\(\ge\)0 với mọi a
=>a4+16-2a3-8a \(\ge\)0
<=>a4+16\(\ge\)2a3+8a
thanks