Question

[Nhân Trần Tiến]

Chứng minh rằng :

1) x^2 + y^2 + z^2 ≥ xy + yz + xz

2) a^2 + b^2 + c^2 + 3 ≥  2(a + b + c)

3) a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 ≥ a(b + c + d + e)

4) x^2 + 2y^2 + 2z^2 > 2xy + 2yz + 2z − 2

5) (a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ 4/13 với 4x + 9y = 2 ; Dấu "=" xảy ra khi nào?

6) abc ≥ (a + b − c)(a + c − b)(b + c − a) với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác

7) CMR a+b < 2c với a, b, c là 3 số dương thỏa

a^2<bc

và b^2<ac

8) a^2/3 + b^2 + c^2 > ab + bc + ac  với abc = 1 và a^3 > 36

9) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2

a) CMR Cả a, b và c  đều bé hơn 1

b) CMR a^2 + b^2 + c^2  < 2(1−abc)

10) bc/a + ac/b + ab/c  ≥ a + b + c với mọi a, b và c dương

Answer 1

[Nguyễn Tố Hằng]

1)   Áp dụng Cô-si ta có:

\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(y^2+z^2\ge2yz\)

\(x^2+z^2\ge2xz\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\left(đpcm\right)\)