Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Ta có:
\(3^{2n+1}+2^{n+2}=9^n.3+2^n.4\)
\(=9^n.3-2^n.3+2^n.7=3\left(9^n-2^n\right)+2^n.7\)
Ta lại có:
\(9^n-2^n⋮9-2=7;2n.7⋮7\)
\(\Rightarrow3^{2n+1}+2^{n+2}⋮7\left(dpcm\right)\)
a) Giải:
Đặt \(A_n=11^{n+2}+12^{2n+1}\)\((*)\) Với \(n=0\) ta có:
\(A_0=11^2+12^1=133\) \(⋮133\Rightarrow\) \((*)\) đúng
Giả sử \((*)\) đúng đến giá trị \(k=n\) tức là:
\(B_k=11^{k+2}+12^{2k+1}\) \(⋮133\left(1\right)\)
Xét \(B_{k+1}-B_k\)
\(=11^{k+1+2}+12^{2\left(k+1\right)+1}-\left(11^{k+2}+12^{2k+1}\right)\)
\(=11^{k+3}-11^{k+2}+12^{2k+3}-12^{2k+1}\)
\(=10.11^{k+2}+143.12^{2k+1}\)
\(=10.121.11^k+143.12.144^k\)
\(\equiv\) \(10.121.11^k+10.12.11^k\)
\(\equiv\) \(10.11^k\left(121+12\right)\) \(\equiv\) \(0\left(mod133\right)\)
Theo giả thiết quy nạy \(\left(1\right)\) ta có: \(B_k⋮133\Leftrightarrow B_{k+1}⋮133\)
Hay \((*)\) đúng với \(n=k+1\) \(\Rightarrow\) Đpcm
+) Nếu 2n + 5 chia hết cho 3 thì (2n +5)2 chia hết cho 9 mà 51 không chia hết cho 9
=> (2n +5)2 + 51 không chia hết cho 9
+) Nếu 2n + 5 không chia hết cho 3 thì (2n +5)2 không chia hết cho 3
=> (2n +5)2 chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2
=> (2n +5)2 có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k \(\in\) N)
=> (2n +5)2 + 51 có dạng 3k + 52 hoặc 3k + 53
Mà số có dạng 3k + 52 và 3k + 53 đều không chia hết cho 3 nên cũng không chia hết cho 9
=> ĐPCM
(2n + 5)2 + 51 = 4n2 + 25 + 51 = 4n2 + 76
Do 76 là số chẵn, không chia hết cho 9 nên :
- Với n chia hết cho 9 và n chia hết cho 3 thì 4n2 chia hết cho 9 => 4n2 + 76 không chia hết cho 9.
- Với n là các trường hợp còn lại thì 4n2 + 76 cũng ko chia hết cho 9
\(1\)
\(A=11^9+11^8+11^7+...+11+1\)
\(\Rightarrow A=11^9+11^8+11^7+...+11^1+11^0\)
\(\Rightarrow A=\left(...1\right)+\left(...1\right)+\left(...1\right)+...+\left(...1\right)+1\)
\(\Rightarrow A=\left(.....0\right)⋮5\)
\(\text{Vậy }A⋮5\)
\(2\)
\(n^2+n+1=n.n+n.1+1=n\left(n+1\right)+1\)
\(\text{Mà n ( n + 1 ) là hai số liên tiếp nên chúng là số chãn}\)
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+1\text{là số lẻ}\)
\(\Rightarrow\left(n^2+n+1\right)⋮4̸\)
+ Với n =1
=> 71+2 +82.1+1 = 73 +83 = 855 =57.15 chia hết cho 57
+ Giải sử Đúng với n =k
=> 7k+2 + 82k+1 chia hết cho 57 (1)
+ Ta chứng minh Đúng với n =k +1
=> 7n+2 +82n+1 = 7k+1+2 +82(k+1)+1 = 7. 7k+2 + 82 . 82k+1 = 7( 7k+2 + 82k+1 ) + 57.82k+1
Mà theo (1) ; 7k+2 + 82k+1 chia hết cho 57 ; 57.82k+1 chia hết cho 57
=> 7n+2 +82n+1 chia hết cho 57
\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2011}-\frac{1}{2009}+\frac{1}{2009}-....+\frac{1}{3}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2011}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{-2012}{2011}=\frac{-1006}{2011}\)