Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ bất đẳng thức Cô si ta có:
\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\left[\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh:
\(\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)nên bất đẳng thức cuối cùng đùng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ta có: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc\)(1)
Ta có: \(\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^3\)
\(=\left(a-b\right)^3+3\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)+3\left(a-b\right)\left(b-c\right)^2+\left(b-c\right)^3-\left(a-c\right)^3-3\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)-3\left(a-b\right)\left(b-c\right)^2\)
\(=\left(a-b+b-c\right)^3-\left(a-c\right)^3-3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-b+b-c\right)\)
\(=3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Ta có: \(a-b+b-c+c-a\ge3\sqrt[3]{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Leftrightarrow0\ge\sqrt[3]{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(\Leftrightarrow0\ge3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge9abc+3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)(2)
Từ (1), (2) ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc+3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\ge9abc+\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
2) Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\). Khi đó, ta có: \(a^2+bc\le a^2+ac\le\left(a+c\right)^2\)
Vậy chỉ cần chứng minh
\(\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\ge4\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)\)
Lợi dụng AM-GM ngay, ta được
\(4\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)\le\left(b^2+ca+c^2+ab\right)^2=\left(b^2+ab+bc+ca+c^2-bc\right)^2=\left[\left(b+a\right)\left(b+c\right)+c\left(c-b\right)^2\right]\le\left(b+a\right)^2\left(b+c\right)^2\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b;c=0 và hoán vị
3) \(VT=\dfrac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)+ca}{c+a}+\dfrac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)
\(=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{c+a}+\dfrac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{a+b}\)
Lợi dụng AM-GM, ta được
\(\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{c+a}\ge2\left(a+b\right)\)
Tương tự với các BĐT tiếp theo
Cộng vế theo vế rồi rút gọn ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
a)Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
\(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge\frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cộng theo vế 2 bđt trên ta có:
\(3\ge\frac{3\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
Dấu = khi a=b=c
b)Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc^2a}{ab}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca^2b}{bc}}=2a\)
\(\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{b^2ac}{ac}}=2b\)
Cộng theo vế 3 bđt trên ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
Đấu = khí a=b=c
** Bài này chỉ đúng khi $a,b,c$ không âm thôi bạn nhé.
Lời giải:
Theo BĐT Schur:
$a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6abc\geq (a+b+c)(ab+bc+ac)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3(a+b+c)(ab+bc+ac)+6abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ac)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]+6abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ac)$
$\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ac)$
$\Leftrightarrow (a+b+c)^3+9abc\geq 4(a+b+c)(ab+bc+ac)$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$