NT
6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 9 2017
Lời giải:
1)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm ta có:
\(a^4+3=a^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{a^4}\)
\(\Leftrightarrow a^4+3\geq 4|a|\geq 4a\)
Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=1\)
2)
Ghi đầy đủ đề:
\(a^2(1+b^2)+b^2(1+c^2)+c^2(1+a^2)\geq 6abc\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:
\(\text{VT}=a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2\geq 6\sqrt[6]{a^2.a^2b^2.b^2.b^2c^2.c^2.c^2a^2}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 6\sqrt[6]{a^6b^6c^6}=6|abc|\geq 6abc\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
LT
1
26 tháng 3 2017
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)-4a^2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4+a^2+a^2b^2+b^2-4a^2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a^2\right)^2-2a^2b+b^2\right]+\left[a^2-2.a.ab+\left(ab\right)^2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b\right)^2+\left(a^2-ab\right)^2\ge0\) là BĐT đúng
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge4a^2b\) đúng (ĐPCM)
5 tháng 2 2018
a) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+1\right)\ge2\sqrt{a^2b^2}.2\sqrt{a^2}\ge2ab.2a=4a^2b\)
b) Áp dụng bất đẳng thức :\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\forall x;y>0\)
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+2c+a}\ge\frac{4}{a+3b+b+2c+a}=\frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+2a+b}\ge\frac{2}{b+2c+a}\\\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{a+2b+c}\ge\frac{2}{b+2a+c}\end{cases}}\)
Cộng vế với vế ta được : \(VT+VP\ge2VP\Rightarrow VT\ge VP\)(đpcm)
DH
31 tháng 1 2020
\(a,\) Ta có: \(S=\frac{ab\left(a-b\right)-bc\left(c-b\right)+ac\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
Xét tử thức ta có: \(ab\left(a-b\right)-bc\left(c-b\right)+ac\left(c-a\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)-bc\left[\left(c-a\right)+\left(a-b\right)\right]+ac\left(c-a\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)-bc\left(c-a\right)-bc\left(a-b\right)+ac\left(c-a\right)\)
\(=-b\left(a-b\right)\left(c-a\right)+c\left(a-b\right)\left(c-a\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)\)
\(=-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\)
Vậy \(S=\frac{-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\)
Vậy .......
\(b,a^4+3\ge4a\)
\(\Leftrightarrow a^4-2a^2+1+2a^2-4a+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)^2+2\left(a-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left[\left(a+1\right)^2+2\right]\ge0\left(Luôn-đúng-\forall a\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
22 tháng 12 2017
\(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2=\)\(b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2-b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2=0\)
Đặt:
\(\begin{cases}a+b-c=x\\b+c-a=y\\a+c-b=z\end{cases}\)\(\hept{\Leftrightarrow\begin{cases}a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+z}{2}\left(\frac{x+y}{2}-\frac{y+z}{2}\right)y^2+\frac{y+z}{2}\left(\frac{x+z}{2}-\frac{x+y}{2}\right)x^2-\frac{x+y}{2}\left(\frac{x+z}{2}-\frac{y+z}{2}\right)z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+z}{2}\times\frac{x-z}{2}\times y^2+\frac{z+y}{2}\times\frac{z-y}{2}\times x^2-\frac{x+y}{2}\times\frac{x-y}{2}\times z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(x+z\right)\left(x-z\right)y^2+\frac{1}{4}\left(z+y\right)\left(z-y\right)x^2-\frac{1}{4}\left(x+y\right)\left(x-y\right)z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left[\left(x^2-z^2\right)y^2+\left(z^2-y^2\right)x^2\right]-\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(x^2y^2-z^2y^2+x^2z^2-x^2y^2\right)-\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)z^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)z^2-\frac{1}{4}\left(x^2-y^2\right)z^2=0\)
Vậy \(a\left(b-c\right)\left(b+c-a\right)^2+c\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)^2=\)\(b\left(a-c\right)\left(a+c-b\right)^2\)
13 tháng 1 2018
vế trái
(a+b)(b+c)(c+a)+4abc
=(ab+ac+b2+bc)(c+a)+4abc
=abc+ac2+b2c+bc2+a2b+a2c+abc+4abc
=(a2c+2abc+b2c)+(ab2+2abc+ac2)+(ba2+2abc+bc2)
=c(a2+2ab+b2)+a(b2+2bc+c2)+b(a2+2ac+c2)
=c(a+b)2+a(b+c)2+b(a+c)2 (đpcm)
14 tháng 5 2017
VP = \(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\left(a-b\right).\dfrac{\left(a+c\right)-\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\left(b-c\right).\dfrac{\left(b+a\right)-\left(c+a\right)}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}+\left(c-b\right).\dfrac{\left(c+b\right)-\left(a+b\right)}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\left(a-b\right).\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c}\right)+\left(b-c\right)\left(\dfrac{1}{c+a}-\dfrac{1}{b+a}\right)+\left(c-a\right).\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{c+b}\right)\)
\(=\left(a-b\right).\dfrac{1}{b+c}-\left(a-b\right).\dfrac{1}{a+c}+\left(b-c\right).\dfrac{1}{c+a}-\left(b-c\right).\dfrac{1}{b+a}+\left(c-a\right).\dfrac{1}{a+b}-\left(c-a\right).\dfrac{1}{c+b}\)
\(=\left(2a-b-c\right).\dfrac{1}{b+c}+\left(2b-c-a\right).\dfrac{1}{c+a}+\left(2c-a-b\right).\dfrac{1}{a+b}\)
\(=\dfrac{2a}{b+c}-\left(b+c\right).\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{2b}{c+a}-\left(c+a\right).\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{2c}{a+b}-\left(a+b\right).\dfrac{1}{a+b}\)
\(=2\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)-3\left(đpcm\right)\)
Q
15 tháng 5 2017
\(VT=\dfrac{2a^3-a^2b-a^2c-ab^2-ac^2+2b^3-b^2c-bc^2+2c^3}{(a+b)(b+c)(c+a)} \)
\(\\=\dfrac{a^3+a^2b-2a^2b-2ab^2+ab^2+b^3+b^3+b^2c-2b^2c-2bc^2+bc^2+c^3+c^3+c^2a-2c^a+2ca^2-ca^2+a^3}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(\\=\dfrac{(a-b)^2(a+b)+(b-c)^2(b+c)+(c-a)^2(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
\(\\\Rightarrow VT=\dfrac{(a-b)^2}{(c+a)(b+c)}+\dfrac{(b-c)^2}{(c+a)(a+b)}+\dfrac{(c-a)^2}{(a+b)(b+c)}=VP\)
Với a;b;c không âm?
\(\left(a+b+c\right)^2=\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)
Ta sẽ cm \(4a\left(b+c\right)\ge4a\left(b-c\right)\Leftrightarrow4ac\ge-4ac\) (đúng với a;b;c không âm)
Dấu "=" xảy ra khi a;b không âm bất kì và c=0
no biết