Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/ Ta có:
\(a^5-a^3+a=2\)
Dễ thấy a = 0 không phải là nghiệm từ đó ta có:
\(a^6-a^4+a^2=2a\)
\(\Rightarrow2a=a^6+a^2-a^4\ge2a^4-a^4\ge a^4\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a\ge a^4\\a>0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\ge a^3\\a>0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4\ge a^6\\a>0\end{cases}}\)
Dấu = không xảy ra
Vậy \(a^6< 4\)
Câu 2/
Câu hỏi của XPer Miner - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Đặt B là tên biểu thức
Với mọi n thuộc N*, ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\) (*)
Áp dụng (*), ta được:
\(B< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{2011}}-\frac{1}{\sqrt{2012}}+\frac{1}{\sqrt{2012}}-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)\)
\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2013}}\right)=2-\frac{1}{\sqrt{2013}}< 2\)
Ta co:
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1+n}< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n+1}.\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Ap vào bài toan được
\(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
\(< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \frac{1}{2}\)
Với \(n\inℕ^∗\) ta có:
\(\frac{1}{\left(2k+1\right)^2}=\frac{1}{4k\left(k+1\right)+1}< \frac{1}{4k\left(k+1\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)^2}< \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+...\)\(+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)< \frac{1}{4}\)