Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4\cdot5}+\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+...+\frac{1}{2006\cdot2007}\)
=> \(<\frac{1}{4}-\frac{1}{2007}<\frac{1}{4}\)
\(vậy:\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4}\)
b) \(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}>\frac{1}{5\cdot6}+\frac{1}{6\cdot7}+\frac{1}{7\cdot8}+...+\frac{1}{2007\cdot2008}\)
=> \(>\frac{1}{5}-\frac{1}{2008}>\frac{1}{5}\)
\(vậy:\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}>\frac{1}{5}\)
Ta có:
\(\frac{1}{5^2}<\frac{1}{4.5}\)
\(\frac{1}{6^2}<\frac{1}{5.6}\)
\(\frac{1}{7^2}<\frac{1}{6.7}\)
\(...\)
\(\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{2006.2007}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{2006.2007}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2007}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4}-\frac{1}{2007}\)
Mà \(\frac{1}{4}-\frac{1}{2007}<\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{4}\)
Mik lười quá bạn tham khảo câu 3 tại đây nhé:
Câu hỏi của nguyen linh nhi - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
\(S=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot4}+...+\frac{1}{37\cdot38\cdot39}\)
\(2S=\frac{1}{1\cdot2}-\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3}-\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{37\cdot38}-\frac{1}{38\cdot39}\)
\(2S=\frac{1}{2}-\frac{1}{38\cdot39}\)
\(S=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\cdot38\cdot39}< \frac{1}{4}\)
Ta thấy : \(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{4.5};\frac{1}{6^2}< \frac{1}{5.6};...;\frac{1}{2006^2}< \frac{1}{2005.2006}\)
\(\Rightarrow B=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{2006^2}< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{2005.2006}\)
\(\Leftrightarrow B< \frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}\)
\(\Leftrightarrow B< \frac{1}{4}-\frac{1}{2006}=\frac{1001}{4012}\)
Mà \(\frac{1001}{4012}< \frac{334}{2007}\Rightarrow B< \frac{334}{2007}\)
\(B< \frac{1}{4.6}+\frac{1}{6.8}+...+\frac{1}{2006.2008}\)
\(2B< \frac{2}{4.6}+\frac{2}{6.8}+...+\frac{2}{2006.2008}=\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2008}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2008}=\frac{501}{2008}\)\(B< \frac{501}{4016}< \frac{501}{4014}< \frac{668}{4014}=\frac{334}{2007}\)
Vậy:.....
a, \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{13}< \frac{1}{12};\frac{1}{14}< \frac{1}{12};\frac{1}{15}< \frac{1}{12}\Rightarrow\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}< \frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{61}< \frac{1}{60};\frac{1}{62}< \frac{1}{60};\frac{1}{63}< \frac{1}{60}\Rightarrow\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}< \frac{1}{60}+\frac{1}{60}+\frac{1}{60}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{14}+\frac{1}{15}+\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}< \frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{20}=\frac{1}{2}\)
Vậy...
b, Đặt A là tên của tổng trên
Ta có: \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{100^2}=\frac{1}{2^2}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\right)\)
Đặt B là biêu thức trong ngoặc
Ta có: \(1=1;\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};....;\frac{1}{50^2}< \frac{1}{49.50}\)
\(\Rightarrow B< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}\)
\(\Rightarrow B< 1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{49}-\frac{1}{50}\)
\(\Rightarrow B< 2-\frac{1}{50}< 2\)
Thay B vào A ta được:
\(A< \frac{1}{2^2}.2=\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+...+\frac{1}{2007^2}< \frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{2006.2007}\)
\(=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2007}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2007}< \frac{1}{4}\)
1/5^2+1/6^2+...+1/2007^2<1/4.6+1/5.7+...+1/2006.2008
=1/2(1/4-1/6+...+1/2006-1/2008)
=1/2.1/4-1/4016
=1/8-1/4016<50/251 (Vì 1/8<50/251)
Bất đẳng thức của bạn sai dấu, để kiểm tra, bạn bấm máy tính tổng sigma của chuỗi 1/i2 với i chạy từ 5 đến 100, kết quả là 0,211...> 50/251.
Bài giải của bạn Đào Đức Mạnh sai ở dòng thứ 3: "=1/2.1/4 - 1/4016", thay vào đó phải sửa là "= (1/2).(1/4 + 1/5 - 1/2007 - 1/2008). Bạn có thể khai triển cụ thể hơn theo hướng giải ban đầu của bạn Mạnh để thấy 1/5 và -1/2007 ko bị triệt tiêu. Vì đpcm đã sai ngay từ đầu nên mình ko làm tiếp cách này.
Mình sẽ chứng minh điều ngược lại: VT > 50/251
VT = 1/52 + 1/6.6 + 1/7.7 +.....+1/2007.2007 > 1/52 + 1/6.7 +1/7.8 + .... +1/2007.2008 = 1/52 + 1/6 - 1/7 +1/7 - 1/8 + .... -1/2007 + 1/2007 - 1/2008 = 1/52 + 1/6 - 1/2008 =1/25 +4/25 - 4/25 + 1/6 -1/2008 = 1/5 +1/150 - 1/2008 >1/5 = 50/250 >50/251 (do 1/150 - 1/2008 >0).
Mình nghĩ đây ko phải cách giải tốt nhất. Mong nhận được hướng giải quyết thông minh hơn từ các bạn! Thanks in advance!