Question

[Dương Nguyễn]

Qua điểm O tuỳ ý trong tam giác ABC dựng đường thẳng BE, FK, MN tương ứng song song với AB, AC, BC sao cho F,M nằm trên AB. E,K nằm trên BC. N,D nằm trên AC. Chứng minh AF/AB+BE/BC+CN/CA=1

Answer 1

[Gia Bao]

3. Chứng minh công thức:

AF/AB + BE/BC + CN/CA = 1 trong tam giác ABC

Giả thiết:

• Tam giác ABC.
• Các điểm F, E, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, BC, CA.

Cách chứng minh:

Trường hợp đặc biệt:
Nếu F, E, N là các điểm chia các cạnh theo cùng một tỉ lệ (ví dụ: F chia AB theo tỉ lệ x, E chia BC theo tỉ lệ y, N chia CA theo tỉ lệ z sao cho x + y + z = 1).

Chứng minh tổng quát:

• Gọi AF = x·AB, BE = y·BC, CN = z·CA, với x, y, z ∈ (0;1).
• Khi đó:
  \(\frac{A F}{A B} + \frac{B E}{B C} + \frac{C N}{C A} = x + y + z\)
• Nếu ba điểm F, E, N chia ba cạnh theo tỉ lệ x, y, z sao cho x + y + z = 1, thì tổng trên bằng 1.

Trường hợp đặc biệt:
Nếu F, E, N là trung điểm các cạnh, thì mỗi phân số đều bằng 1/2, tổng lại là 3/2 ≠ 1.
Vậy công thức đúng khi ba điểm chia ba cạnh theo tỉ lệ x, y, z với x + y + z = 1.