a) Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời. a) Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng Vậy hệ thức đúng với n = 1. Đặt vế trái bằng Sn. Giả sử đẳng thức a) đúng với n = k ≥ 1, tức là Sk= 2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 = Ta phải chứng minh rằng cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh Sk+1 = 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1) = Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: Sk+1 = Sk + 3k + 2 = = Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N* b) Với n = 1, vế trái bằng Đặt vế trái bằng Sn. Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: = Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi n ε N* c) Với n = 1, vế trái bằng 1, vế phải bằng Đặt vế trái bằng Sn. Giả sử hệ thức c) đúng với n = k ≥ 1, tức là Sk = 12 + 22 + 32 + …+ k2 = Ta phải chứng minh Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: Sk+1 = Sk + (k + 1)2 = Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức đúng với mọi n ε N* Đặt vế trái bằng \(S_n\). b) Đặt vế trái bằng \(S_n\). a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2 Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là 3k > 3k + 1 Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được: 3k + 1 > 9k + 3 <=> 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1. Vì 6k - 1 > 0 nên 3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1. tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1. Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2. b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2 Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là 2k + 1 > 2k + 3 (2) Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh 2k + 2 > 2(k + 1) + 3 <=> 2k + 2 > 2k + 5 Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được: 2k + 2 > 4k + 6 <=> 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1. Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5 Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2. b) c)
K
Khách
NT
Nguyen Thuy Hoa
19 tháng 5 2017
Đúng(0)
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
MH
9 tháng 4 2017
= 2
+ 3k + 2
(điều phải chứng minh)
, vế phải bằng
, do đó hệ thức đúng.
.
(điều phải chứng minh)
= 1 nên hệ thức đúng với n = 1.
= (k + 1).
= (k + 1)
(đpcm)
BT
24 tháng 5 2017
Với n = 1. Vế trái chỉ có một số hạng bằng 2, vế phải bằng \(\dfrac{1.\left(3.1+1\right)}{2}=2\).
Vậy \(VP=VT\). Điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử có \(S_k=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}\). Ta phải chứng minh:
\(S_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left[3\left(k+1\right)+1\right]}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{2}\).
Thật vậy ta có:
\(S_{k+1}=S_k+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\left[3\left(k+1\right)-1\right]\)
\(=\dfrac{k\left(3k+1\right)}{2}+\dfrac{2\left(3k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{3k^2+7k+4}{2}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(3k+4\right)}{ }\).
Vậy \(S_n=\dfrac{n\left(3n+1\right)}{2}\).
BT
24 tháng 5 2017
Với n = 1.
VT = 3; VP \(=\dfrac{1}{2}\left(3^2-3\right)=3\).
Điều cần chứng minh đúng với n = 1.
Giả sử \(S_k=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3\right)\).
Ta cần chứng minh: \(S_{k+1}=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1+1}-3\right)=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+2}-3\right)\).
Thật vậy:
\(S_{k+1}=S_k+3^{k+1}=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3\right)+3^{k+1}\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+1}-3+2.3^{k+1}\right)=\dfrac{1}{2}\left(3.3^{k+1}-3\right)\)\(=\dfrac{1}{2}\left(3^{k+2}-3\right)\).
Vậy \(S_n=\dfrac{1}{2}\left(3^{n+1}-3\right)\).
MH
9 tháng 4 2017
BT
25 tháng 5 2017
Với n = 1.
\(VT=B_n=1;VP=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(1+2\right)}{6}=1\).
Vậy với n = 1 điều cần chứng minh đúng.
Giả sử nó đúng với n = k.
Nghĩa là: \(B_k=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}\).
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\).
Nghĩa là:
\(B_{k+1}=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+1+1\right)\left(k+1+2\right)}{6}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Thật vậy:
\(B_{k+1}=B_k+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{6}+\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(k+3\right)}{6}\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
BT
25 tháng 5 2017
Với \(n=1\)
\(VT=S_n=sinx\); \(VP=\dfrac{sin\dfrac{x}{2}sin\dfrac{2}{2}x}{sin\dfrac{x}{2}}=sinx\)
Vậy điều cần chứng minh đúng với \(n=1\).
Giả sử điều cần chứng minh đúng với \(n=k\).
Nghĩa là: \(S_k=\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\):
Nghĩa là: \(S_{k+1}=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\).
Thật vậy từ giả thiết quy nạp ta có:
\(S_{k+1}-S_k\)\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}-\dfrac{sin\dfrac{kx}{2}sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.\left[sin\dfrac{\left(k+2\right)x}{2}-sin\dfrac{kx}{2}\right]\)
\(=\dfrac{sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}}{sin\dfrac{x}{2}}.2cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}sim\dfrac{x}{2}\)\(=2sin\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}cos\dfrac{\left(k+1\right)x}{2}=2sin\left(k+1\right)x\).
Vì vậy \(S_{k+1}=S_k+sin\left(k+1\right)x\).
Vậy điều cần chứng minh đúng với mọi n.
MH
9 tháng 4 2017
a) Dãy số bị chặn dưới vì un = 2n2 -1 ≥ 1 với mọi n ε N* và không bị chặn trên vì với số M dương lớn bất kì, ta có 2n2 -1 > M <=> n >
.
tức là luôn tồn tại n ≥
+ 1 để 2
- 1 > M.
b) Dễ thấy un > 0 với mọi n ε N*
Mặt khác, vì n ≥ 1 nên n2 ≥ 1 và 2n ≥ 2.
Do đó n(n + 2) = n2 + 2n ≥ 3, suy ra
.
Vậy dãy số bị chặn 0 < un
với mọi n ε N*
c) Vì n ≥ 1 nên 2n2 - 1 > 0, suy ra
> 0
Mặt khác n2 ≥ 1 nên 2n2 ≥ 2 hay 2n2 - 1≥ 1, suy ra
≤ 1.
Vậy 0 < un ≤ 1, với mọi n ε N* , tức dãy số bị chặn.
d) Ta có: sinn + cosn = √2sin(n +
), với mọi n. Do đó:
-√2 ≤ sinn + cosn ≤ √2 với mọi n ε N*
Vậy -√2 < un < √2, với mọi n ε N* .
