Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left[\left(xy+\frac{1}{xy}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(xy+\frac{1}{xy}-xy-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}-\frac{1}{xy}\right)\)
\(=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)\)
\(=-\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=-\left(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(-\left(x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(=4\)
Vậy giá trị bt ko phụ thuộc vào biến
bn có thể giải thích rõ hơn tại sao lại bằng 4 được không? Dù gì thì cx cảm ơn bn đã tl câu hỏi của mk
Từ đề bài suy ra:\(x^2+y^2+z^2-2xy+2xz-2yz\ge0\)
\(\left(x-y\right)^2+\left(x+z\right)^2+\left(y-z\right)^2\ge0\)
Đẳng thức này đúng với mọi số x,y,z
Vậy \(x^2+y^2+z^2\ge2\left(xy-xz+yz\right)\) (đpcm)
a) Biến đổi vế phải, ta có :\(\frac{-3x\left(x-y\right)}{y^2-x^2}=\frac{3x\left(x-y\right)}{x^2-y^2}=\frac{3x\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}=\frac{3x}{x+y}\) = vế trái \(\Rightarrowđpcm\)
c)Biến đổi vế phải ta có: \(\frac{3a\left(x+y\right)^2}{9a^2\left(x+y\right)}=\frac{x+y}{3a}=vt\Rightarrowđpcm\)
b)áp dụng Bđt cô si
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}}=2\)
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\)\(\Rightarrow-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge-6\)
\(\Rightarrow P\ge2+\left(-5\right)+5=1\)
Dấu = khi x=y
a)Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\)
Dấu = khi \(x=y\)
1. \(\left|x+5\right|-\left|1-2x\right|=x\left(1\right)\)
Với phương trình kiểu này thì phải lập bảng để xét dấu của x+5 và 1-2x ta có nghiệm của hai nhị thức để chúng bằng 0 lần lượt là -5 và 0,5. Bảng xét dấu:
Ứng với bảng ta có 3 khoảng giá trịn của x ứng với ba phương trình sau.
* Với \(x< -5\) (khoảng đầu)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow-\left(x+5\right)-\left(1-2x\right)=x\\ \Leftrightarrow-x+2x-x=5+1\\ \Leftrightarrow0x=6\)
Phương trình vô nghiệm.
* Với \(-5\le x\le0,5\) (khoảng giữa)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+5\right)-\left(1-2x\right)=x\\ \Leftrightarrow x+2x-x=1-5\\ \Leftrightarrow x=-2\)
\(x=-2\) thỏa mãn điều kiện nên ta lấy.
* Với \(x>0,5\) (khoảng cuối)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+5\right)-\left(2x-1\right)=x\\ \Leftrightarrow x-2x-x=-5-1\\\Leftrightarrow x=3 \)
\(x=3\) thỏa nãm điều kiện nên ta lấy.
Kết luận tập nghiệm của phương trình (1) là: \(S=\left\{-2;3\right\}\)
Chứng minh bất đẳng thức:
\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\\ \Rightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab_{ }+b^2\\ \Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-b^2-2ab\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(1\right)\)
Vì BĐT (2) luôn đúng với mọi a,b do đó ta có: \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\dfrac{x^2+1}{x}=\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{1}{x}=x+\dfrac{1}{x}\)
Theo bất đẳng thức Cô - si, ta có:
\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}=2\sqrt{1}=2\)
Vậy \(\dfrac{x^2+1}{x}\ge2\)
1 cách chứng minh khác (chứng minh tương đương)
\(\dfrac{x^2+1}{x}\ge2\\ \Leftrightarrow x^2+1\ge2x\\ \Leftrightarrow x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)
Vậy BĐT ban đầu được chứng minh