Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét hình sau.
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a^2+b^2}=AB\\\sqrt{b^2+c^2}=BC\end{cases}}\)
Cần chứng minh \(AB.BC\ge BH.AC\)
Ta có: \(BH.AC=2S_{\Delta ABC}=AB.BC.\sin ABC\)
Vậy cần chứng minh \(AB.BC\ge AB.BC.\sin ABC\Leftrightarrow\sin ABC\le1\)
Bất bẳng thức cuối hiển nhiên đúng, nên ta có đpcm.
PP: Dùng tương đương thần chưởng !!!
Ý tưởng : Chứng minh 1/\sqrt{1+a^2} + 1/\sqrt{1+b^2} >= 2/\sqrt{1+ab} >= 2/\sqrt{ 1+ (a+b)^2/4 }
._. Bạn biết đăng hình ảnh lên đây không mình làm ra rùi chụp cho (:
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\mp\sqrt{a-\sqrt{b}}\right)^2=\left(\sqrt{2\left(a\mp\sqrt{a^2-b}\right)}\right)^2\Leftrightarrow a+\sqrt{b}+a-\sqrt{b}\mp2\sqrt{\left(a+\sqrt{b}\right)\cdot\left(a-\sqrt{b}\right)}=2a\mp2\sqrt{a^2-b}\Leftrightarrow2a\mp2\sqrt{a^2-b}=2a\mp2\sqrt{a^2-b}\) (luôn đúng) \(\Rightarrowđpcm\)
Ta có a và b không âm nên
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{a+b}{4}=\frac{a+b}{2}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\)(bất đẳng thức cô - si)
Cần chứng minh \(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\). Xét hiệu hai vế
\(\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left(a+b+\frac{1}{2}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\sqrt{ab}\left[\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\right]\ge0\)
Xảy ra đẳng thức \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{4}\)hoặc\(a=b=0\)
Bạn theo đường link này là ra
https://olm.vn/hoi-dap/question/1043868.html
P/s hok tốt
a) Ta có: \(\sqrt{a+b}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+b}\right)^2\le\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\Leftrightarrow a+b\le a+2\sqrt{ab}+b\)
Điều này luôn đúng với mọi a,b€N, do đó BĐT này đúng, dấu ‘=‘ xảy ra khi a=b=0.
b) Ai giải giúp với :)
\(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)
cách khác ạ :3
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng engel ta có :
\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Chứng minh tương đương:
BĐT <=> \(\left(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\right)^2\le\left(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\right)^2\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\le\left(\left|a\right|\right)^2+\left(\left|b\right|\right)^2+\left(\left|c\right|\right)^2+2\left|a\right|\left|b\right|+2.\left|a\right|\left|c\right|+2\left|b\right|\left|c\right|\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\le a^2+b^2+c^2+2\left|ab\right|+2.\left|ac\right|+2\left|bc\right|\)
<=> \(0\le2\left|ab\right|+2.\left|ac\right|+2\left|bc\right|\) Luôn đúng với mọi a; b; c => đpcm
Dấu " = " xảy ra khi 2 trong 3 số a; b ; c = 0