WA
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
15 tháng 5 2021
Ta có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{\left(a^3+ab^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Tương tự CM được:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\) và \(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:
\(\frac{a^3}{b^2+c^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{a+b+c}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 2
8 tháng 7 2019
Ta có \(\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2bc}\)
Áp dụng BĐT cosi schwarz:
\(VT\ge\frac{\left(3a+3b+3c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+4\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{9}{2}\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
DT
1
21 tháng 4 2021
Đặt \(A=\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\left(a,b,c>0\right)\).
Ta có:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{a\left(a^2+b^2-b^2\right)}{a^2+b^2}=\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\).
Vì \(a,b>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(a^2+b^2\ge2ab\).
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+b^2}\le\frac{1}{2ab}\).
\(\Leftrightarrow\frac{ab^2}{a^2+b^2}\le\frac{ab^2}{2ab}=\frac{b}{2}\).
\(\Rightarrow\frac{-ab^2}{a^2+b^2}\ge\frac{-b}{2}\).
\(\Leftrightarrow a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\).
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+b^2}\ge a-\frac{b}{2}\left(1\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b>0\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\).với \(b,c>0\)\(\left(2\right)\)
Dấu bẳng xảy ra \(\Leftrightarrow b=c>0\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)với \(a,c>0\)\(\left(3\right)\).
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=c>0\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\)\(\ge\)\(a+b+c-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}\).
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{a+b+c}{2}\).
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{6}{2}\)(vì \(a+b+c=6\)).
\(\Leftrightarrow A\ge3\)(điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c>0\\a+b+c=6\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=2\).
Vậy nếu \(a,b,c\)là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c=6\)thì:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge3\).
22 tháng 5 2017
3 số thực dương nhé.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz dạng Engel có :
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ca\right)+\left(c^2+2ab\right)}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2+2bc}=\frac{1}{b^2+2ca}=\frac{1}{c^2+2ab}\)và \(a+b+c=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+2bc=b^2+2ca=c^2+2ab\)
Mong có ai giúp mình từ đẳng thức trên giải ra a=b=c.
NL
0
NT
1
T
23 tháng 7 2019
Sửa đề: Chứng minh \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
Cách 1: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có đpcm.
Cách 2:BĐT \(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (đúng)
Ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c
TN
26 tháng 6 2016
a)Ta có:
\(\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
Do \(\left(a-b\right)^2\ge0\),nên\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
b)Xét \(\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\)
Khai triển và rút gọn ta được:\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
a)\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)
\(\Leftrightarrow0\le2a^2-a^2+2b^2-b^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow0\le a^2-2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> Đúng
b) \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\le3a^2+3b^2+3c^2\)
\(\Leftrightarrow0\le3a^2-a^2+3b^2-b^2+3c^2-c^2-2ab-2bc-2ac\)
\(\Leftrightarrow0\le2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\)
\(\Leftrightarrow0\le\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
=> Đúng
a,Ta có : \(\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
Do : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)nên \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\).
b, Xét : \(\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b\right)^2-\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\) . Khai triển và rút gọn, ta được :
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) . Vậy : \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)