VL
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KK
5
28 tháng 10 2015
Xét n=0 => 62n+1 + 5n+2 = 31chia hết 31
Xét n=1 => 62n+1 + 5n+2 = 341 chia hết 31
Giả sử mệnh đề đúng với n = k,tức là có 62k+1 + 5k + 2,ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 tức là chứng minh 62k+3 + 5k+3
Ta có 62k+1 + 5k+2 = 36k.6+5k.25 chia hết 31
<=> 62k+3 + 5k+3 = 36k.216+5k.125
Xét hiệu : 62k+3 + 5k+3 − 62k+1 − 5k+2 = 36k.216+5k.125−36k.6−5k.25
= 36k.210+5k.100 = 36k.207+5k.93−7(36k−5k)
Có 217 chia hết 31, 93 chia hết 31và 36k−5k chia hết 36 - 5 = 31
=> 62n+3 + 5k+3 − 62k+1 − 5k+2 chia hết 31.
Mà 62k+1 + 5k+2 chia hết 31 nên 62k+3 + 5k+3 chia hết 31
Phép quy nạp được chứng minh hoàn toàn,ta có đpcm
VH
0
D
1
11 tháng 10 2020
Khá dễ khi ta dùng đồng dư !
Vì n không chia hết cho 3 nên ta xét 2 dạng của n \(\hept{\begin{cases}n=3k+1\\n=3k+2\end{cases}}\left(k\inℕ\right)\)
Nếu \(n=3k+1\) thay vào ta được:
\(5^{2n}+5^n+1=5^{6k+2}+5^{3k+1}+1\)
\(=\left(5^3\right)^{2k}\cdot5^2+\left(5^3\right)^k\cdot5+1\)
\(=125^{2k}\cdot25+125^k\cdot5+1\)
\(\equiv1\cdot25+1\cdot5+1\equiv31\equiv0\left(mod31\right)\)
=> Thỏa mãn
Nếu \(n=3k+2\) thay vào ta được:
\(5^{2n}+5^n+1=5^{6k+4}+5^{3k+2}+1\)
\(=\left(5^3\right)^{2k}\cdot5^4+\left(5^3\right)^k\cdot5^2+1\)
\(=125^{2k}\cdot625+125^k\cdot25+1\)
\(\equiv1\cdot5+1\cdot25+1\equiv31\equiv0\left(mod31\right)\)
=> Thỏa mãn
Vậy với mọi n không chia hết cho 3 thì \(5^{2n}+5^n+1\) chia hết cho 31
chả có j mà ngồi cười như thật!
Đặt \(A=6^{2n+1}+5^{n+2}\)
Với n=0
=>\(A\left(0\right)=6^{2.0+1}+5^{0+2}=6+5^2=31\) chia hết cho 31
Giả sử n=k thì A sẽ chia hết cho 31
=>\(A\left(k\right)=6^{2k+1}+5^{k+2}\) chia hết cho 31
Chứng minh n=k+1 cũng chia hết cho 31 hay \(A\left(k+1\right)=6^{2\left(k+1\right)+1}+5^{\left(k+1\right)+2}\) chia hết cho 31
thật vậy
\(A\left(k+1\right)=6^{2k+3}+5^{k+3}=6^{2k+1}.36+5^{k+2}.5\)
\(=5\left(6^{2k+1}+5^{k+2}\right)+3.6^{2k+1}\)
Theo giả thiết ta có
\(6^{2k+1}+5^{k+2}\) chia hết cho 31
=>\(5\left(6^{2k+1}+5^{k+2}\right)\) chia hết cho 31
mà\(31.6^{2k+1}\) chia hết cho 31
=>\(5\left(6^{2k+1}+5^{k+2}\right)+31.6^{2k+1}\) chia hết cho 31
Hay \(A\left(k+1\right)\) chia hết cho 31
Vậy \(^{6^{2n+1}+5^{n+2}}\) chia hết cho 31