Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
CM theo bdt co-si
Áp dụng bdt Co - si cho cặp số dương a2/c và c
Ta có: \(\frac{a^2}{c}+c\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c}.c}=2a\)(1)
CMTT: \(\frac{b^2}{a}+a\ge2b\)(2)
\(\frac{c^2}{b}+b\ge2c\)(3)
Từ (1); (2) và (3) cộng vế theo vế, ta có:
\(\frac{a^2}{c}+c+\frac{b^2}{a}+a+\frac{c^2}{b}+b\ge2a+2b+2c\)
<=> \(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge2a+2b+2c-a-b-c=a+b+c\)(Đpcm)
\(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\frac{4}{a+b}+\frac{1}{2}\frac{4}{b+c}+\frac{1}{2}\frac{4}{c+a}\)
\(=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3=\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{b}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{c}{c}\right)\)
\(=a\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+b\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge a.\frac{4}{a+b}+b.\frac{4}{b+c}+c.\frac{4}{c+a}=4\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)
Dấu "=" <=> a = b = c
Ta có
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)+c\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\ge3+2a.\frac{1}{\sqrt{bc}}+2b.\frac{1}{\sqrt{ac}}+2c.\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
Mà \(abc\le1\)
=> \(VT\ge3+2a\sqrt{a}+2b\sqrt{b}+2c\sqrt{c}=VP\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Ta có: \(P=\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{1}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}-\frac{1}{\left(a-c\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}-\frac{a-c}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{a-b}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}\)
\(=\frac{b-c-a+c+a-b}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}=\frac{0}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-b\right)}=0\)(đpcm)
\(1.\)
\(a,\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\)
\(\left(a-b\right)^2+4ab=a^2-2ab+b^2+4ab=a^2+2ab+b^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(a-b\right)^2+4ab\left(đpcm\right)\)
a) \(x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)(luôn dương)
b) \(x^2-x+\frac{1}{2}=x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}>0\)(luôn dương)
Bổ sung thêm điều kiện: a,b,c>0 thì mới có bất đẳng thức trên nhé.
Khi đó:
\(a\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge2a\)
\(\Leftrightarrow\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2\)
Dễ thấy bđt trên đúng theo bđt AM-GM cho hai số dương \(\frac{b}{c},\frac{c}{a}\)
Hoặc biến đổi tương đương, chuyển 2 sang vế trái ta được:
\(\frac{\left(b-c\right)^2}{bc}\ge0\)(Luôn đúng)
Dấu "=" khi b=c.