Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=\left(a+b\right)^3+3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+c^3-a^3-b^3-c^3\)
\(=a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)-a^3-b^3-c^3\)
\(=3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)\)
\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Ta có: a^3+b^3=(a+b).(a^2-ab+b^2)
Mà a+b chia hết cho 3 và a,b thuộc Z.
=> điều phải chúng minh
Ta có
\(\frac{a-b}{1+ab}=\frac{b-c}{1+bc}=\frac{a-c}{1+ac}\) nên
\(\frac{a-b}{1+ab}+\frac{b-c}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ca}=\frac{a-b}{1+ab}+\frac{b-a}{1+bc}+\frac{a-c}{1+bc}+\frac{c-a}{1+ca}\)
\(=\left(a-b\right)\left[\frac{1}{1+ab}-\frac{1}{1+bc}\right]+\left(c-a\right)\left[\frac{1}{1+ac}-\frac{1}{1+bc}\right]\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(1+bc-1+ab\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)}+\frac{\left(c-a\right)\left(1+bc-1-ac\right)}{\left(1+ac\right)\left(1+bc\right)}\)
\(=\frac{b\left(c-a\right)\left(a-b\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)}+\frac{c\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{\left(1+ac\right)\left(1+bc\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}{\left(1+bc\right)}\left[\frac{b}{1+ab}-\frac{c}{1+ac}\right]\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}{\left(1+ab\right)\left(1+bc\right)\left(1+ac\right)}\left(đpcm\right)\)
a+b+c+d=0
=>a+b=-(c+d)
=> (a+b)^3=-(c+d)^3
=> a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3-d^3-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab(a+b)-3cd(c+d)
=> a^3+b^3+c^3+d^3=3ab(c+d)-3cd(c+d) ( vi a+b = - (c+d))
==> a^3 +b^^3+c^3+d^3==3(c+d)(ab-cd) (đpcm)
b, ta có a3+ b3 = (a+b)(a2-ab +b2)
= (a+b)(a2 -ab +b2 -ab +ab)
= (a+b) ( a2-2ab +b +ab)
=(a+b) [ (a2-b2) +ab ]
vậy ...........................
biết là sử dụng BĐT này rùi thì áp dụng mà giải hỏi làm chi :D
Ta có \(\dfrac{a-b}{ab+1}+\dfrac{b-c}{bc+1}+\dfrac{c-a}{ca+1}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(bc+1\right)\left(ca+1\right)+\left(b-c\right)\left(ca+1\right)\left(ab+1\right)+\left(a-b\right)\left(bc+1\right)\left(ca+1\right)}{\left(ab+1\right)\left(bc+1\right)\left(ca+1\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(ab+1\right)\left(bc+1\right)\left(ca+1\right)}\).
Lời giải:
Thực hiện phép biến đổi tương đương:
Ta có: a3+b3+abc≥ab(a+b+c)a3+b3+abc≥ab(a+b+c)
⇔a3+b3+abc−ab(a+b+c)≥0⇔a3+b3+abc−ab(a+b+c)≥0
⇔a3+b3−ab(a+b)≥0⇔a3+b3−ab(a+b)≥0
⇔a2(a−b)−b2(a−b)≥0⇔a2(a−b)−b2(a−b)≥0
⇔(a2−b2)(a−b)≥0⇔(a2−b2)(a−b)≥0
⇔(a−b)2(a+b)≥0⇔(a−b)2(a+b)≥0 (luôn đúng với mọi $a,b$ dương )
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi a=b
tk cho mk nha
ĐK : a,b dương
a3 + b3 ≥ ab( a + b )
<=> ( a + b )( a2 - ab + b2 ) - ab( a + b ) ≥ 0
<=> ( a + b )( a - b )2 ≥ 0 đúng do a,b dương
Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra <=> a=b