LT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
4 tháng 5 2018
A^2/b^2-2+b^2/a^2
=a^2/b^2-2a/b×b/a+b^2/a^2
=(a/b-b/a)^2 lớn hơn hoặc bằng 0
Suy ra a^2/b^2-2+b^2/a^2 lớn hơn hoặc bằng 0
Nên a^2/b^2+b^2/a^2 lớn hơn hoặc bằng 2
BH
15 tháng 4 2018
1a)Xét a2 + 5 - 4a =a2 - 4a + 4+1=(a - 2)2+1\(\ge\)1 hay (a -2)2 + 1 > 0
\(\Rightarrow\)Đpcm
b)Xét 3(a2 + b2 + c2) -(a + b +c)2 =3a2 + 3b2 + 3c2 - a2 - b2 - c2 - 2ab - 2ac - 2bc
=2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc
=(a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2\(\ge\)0 (với mọi a,b,c)
\(\Rightarrow\)Đpcm
2)Xét A=\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+c+b\right)=3+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)
áp dụng cô-sy
\(\Rightarrow\)A\(\ge\)9
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\)
VT
0
9 tháng 3 2019
(a^2+b^2)/2>=ab
<=>(a^2+b^2)>=2ab
<=> a^2+2ab+b^2>=2ab
<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)
=> điều phải chứng minh.
KT
9 tháng 3 2019
Xét hiệu: \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu "=" xra <=> a = b
Áp dụng ta có:
a) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
dấu "=" xra <=> a = b = c = 1
b) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)
Dấu "=" xra <=> a = b= c = d = 2
LD
0
11 tháng 5 2017
Bài 2 :
Ta có :
\(\frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c}=\frac{a^2b-ab^2+a^2c-ac^2}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}=\frac{ab\left(a-b\right)+ac\left(a-c\right)}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}\)( 1 )
\(\frac{b^2}{c^2+a^2}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc\left(b-c\right)+ab\left(b-a\right)}{\left(c+a\right)\left(c^2+a^2\right)}\)( 2 )
\(\frac{c^2}{a^2+b^2}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac\left(c-a\right)+bc\left(c-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\) ( 3 )
Cộng ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ta được :
\(\left(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\right)-\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\)
\(=ab\left(a-b\right)\left[\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}\right]\)
\(+ac\left(a-c\right)\left[\frac{1}{\left(b+c\right)\left(b^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2+b62\right)}\right]\)
\(+bc\left(b-c\right)\left[\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a^2+c^2\right)}-\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)}\right]\)
Theo đề bài thì \(a,b,c>0\)( các biểu thức trong các dấu ngoặc đều không âm ) \(\Leftrightarrow dpcm\)
Thấy đúng thì tk nka !111
12 tháng 5 2017
Bài 3:
ta có : \(a^4+b^4\ge2a^2b^2\)
Cộng \(a^4+b^4\) vào 2 vế ta được:
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\)\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)
Ta cũng có : \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge\frac{1}{8}\left(a+b\right)^4\)
mà theo bài thì \(a+b>1\)\(\Rightarrow dpcm\)
TK MK NKA !!!
30 tháng 1 2017
a^2 +b^2 +c^2 =1 chứ không phải là nhỏ hơn 0 . mình giải như sau
a,b,c>0 và a^2 + b^2 + c^2 =1
=>a^2 <1 ;b^2 <1 ; c^2 <1
a/(b^2+c^2) + b/(a^2+c^2) + c/(b^2+a^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2)
<=> a/(1-a^2) + b/(1-b^2)+c/(1-c^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2)
ta cần chứng minh
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2
ta có:
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2 <=> 1/(1-a^2) >= (3√3)/2 .a
<=> 1 >= (3√3)/2 .a(1-a^2)
<=> 2/(3√3) >= a(1-a^2)
<=> 4/27 >= a^2.(1-a^2)(1-a^2) (**)
áp dụng bđt co sy cho 3 số dương 2a^2 ; 1-a^2 ; 1-a^2
ta có:
2a^2.(1-a^2)(1-a^2) <= (2a^2 + 1-a^2 + 1-a^2)^3/27 = 8/27
=> a^2.(1-a^2)(1-a^2) <= 4/27
=> (**) luôn đúng
=>
a/(1-a^2) >= (3√3)/2 a^2
tương tự ta có:
b/(1-b^2) >= (3√3)/2 . b^2
c/(1-c^2) >= (3√3)/2 .c^2
=> a/(1-a^2) + b/(1-b^2)+c/(1-c^2) >= (3√3)/2 (a^2 + b^2 + c^2) = (3√3)/2
HP
30 tháng 1 2017
cần c/m bđt : a/b+c +b/a+c + c/a+b >= 3/2 với a,b,c>0 (nesbit) (*)
<=>(a/b+c + 1 ) + (b/a+c + 1) + (c/a+b + 1) >= 3/2 + 1 + 1 + 1
<=>(a+b+c)/b+c + (a+b+c)/a+c + (a+b+c)/a+b >= 9/2
<=> 2(a+b+c)(1/a+b + 1/b+c + 1/a+c) >= 9
<=>[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1/a+b + 1/b+c + 1/a+c) >= 9 (1)
Đặt x=a+b;y=b+c;z=a+c
(1) <=> (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) >= 9
<=>(x/y+y/x)+(y/z+z/y)+(z/x+x/z) >= 6
<=>(x/y+y/x-2)+(y/z+z/y-2)+(z/x+x/z-2) >= 0
<=>(x-y)2/xy+(y-z)2/yz+(z-x)2/zx >= 0(luôn đúng)
Vậy bdt (*) là đúng
trở lại bài toán : a2/b+c + b2/a+c + c2/a+b >= (a+b+c)/2
<=>(a2/b+c + a)+(b2/a+c + b)+(c2/a+b + c) >= 3/2(a+b+c)
<=>a(a+b+c)/b+c + b(a+b+c)/a+c + c(a+b+c)/a+b >= 3/2(a+b+c)
<=>a/b+c + b/a+c + c/a+b >= 3/2 (bđt (*))
Vậy có đpcm
đặt a2=d, b2=f
ta có a2/b2+b2/a2=d/f+f/d=d2+f2/f.d (1)
ta có : (d-f)2>=0 với mọi d,f
suy ra d2-2d.f+f2>=0
suy ra d2+f2>=2d.f
suy ra d2+f2/d.f>=2 (2)
từ (1)(2) suy ra a2/b2+b2/a2>=2