Câu hỏi của Valentine

Question

Chứng minh: 11.....1( 2n chữ số ) - 22.....2( n chữ số ) là số chính phương.

Phương Trâm · Accepted Answer

Ta có:

$100=2.50$

Đặt $50=n$

$\Rightarrow100=2.n$

Ta có:

$\dfrac{11.....1}{2n-chữ-số-1}$ + $\dfrac{22....2}{n-chữ-số-2}$

$=\dfrac{10^{2n}-1}{9}-2.\dfrac{10^n-1}{9}$

$=\dfrac{10^{2n}}{9}-\dfrac{1}{9}-2.\dfrac{10^n}{9}+\dfrac{2}{9}$

$=\left(\dfrac{10^n}{3}\right)^2-2.\dfrac{10^n}{3}.\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}$

$=\left(\dfrac{10^n}{3}-\dfrac{1}{3}\right)^2$

$=\left(\dfrac{10^n-1}{3}\right)^2$

Vì $10^{n-1}$ không chia hết cho 3.

$\Rightarrow\dfrac{10^n-1}{3}\in Z$

$\Rightarrow\left(\dfrac{10^n-1}{3}\right)^2$ là số chính phương.

Hay $11.....1-22.....2$ là số chính phương. ( đpcm )Câu trả lời: Ta có:

$100=2.50$

Đặt $50=n$

$\Rightarrow100=2.n$

Ta có:

$\dfrac{11.....1}{2n-chữ-số-1}$ + $\dfrac{22....2}{n-chữ-số-2}$

$=\dfrac{10^{2n}-1}{9}-2.\dfrac{10^n-1}{9}$

$=\dfrac{10^{2n}}{9}-\dfrac{1}{9}-2.\dfrac{10^n}{9}+\dfrac{2}{9}$

$=\left(\dfrac{10^n}{3}\right)^2-2.\dfrac{10^n}{3}.\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}$

$=\left(\dfrac{10^n}{3}-\dfrac{1}{3}\right)^2$

$=\left(\dfrac{10^n-1}{3}\right)^2$

Vì $10^{n-1}$ không chia hết cho 3.

$\Rightarrow\dfrac{10^n-1}{3}\in Z$

$\Rightarrow\left(\dfrac{10^n-1}{3}\right)^2$ là số chính phương.

Hay $11.....1-22.....2$ là số chính phương. ( đpcm )